Зависимые и независимые случайные величины

Условное математическое ожидание

Важной характеристикой условного распределения вероятностей является условное математическое ожидание.

Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины , при ( – определенное возможное значение ), называют произведение

возможных значений на их условные вероятности:

.

Для непрерывных величин ,

где – условная плотность случайной величины , при .

Условное математическое ожидание есть функция от :

,

которую называют функцией регрессии на .

Аналогично определяются условное математическое ожидание случайной величины и функция регрессии на :

.

Известно, что случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина [5]. Поэтому условные распределения независимых величин равны их безусловным распределениям.

Теорема. Для того чтобы случайные величины и были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы была равна произведению функций распределения составляющих:

.

Следствие. Для того чтобы непрерывные случайные величины и были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы была равна произведению плотностей распределения составляющих: .

Дата добавления: 2014-12-07