Распределение Максвелла. Теоретические сведения

Найдем функцию распределения для импульса частицы ИГ.

Интегралы по компонентам импульса в правой части равенства (1.6) разделяются и вычисляются с помощью табличного интеграла [2]:

.

Тройное интегрирование в условии нормировки (вероятность найти частицу хоть с каким-нибудь импульсом равна единице) дает значение , а формула (1.6) принимает вид:

.

Используя выражение , можно перейти от импульсов к скоростям и получить распределение вероятности для скорости:

.

Функция распределения по скоростям классических нерелятивистских частиц физической системы, находящейся в статистическом равновесии, задаваемая формулой

,

называется распределением Максвелла по проекциям скорости. Распределение Максвелла (1.11) определяет вероятное число частиц ИГ, компоненты скоростей которых лежат в интервалах от до , от до , от до .

Отсюда можно найти функцию распределения для модуля скорости частиц ИГ, которая называется распределением Максвелла по модулю скорости и задается формулой:

.

Она позволяет определить число молекул в объеме , занимаемом ИГ, модуль скорости которых лежит в интервале значений от до :

где – полное число частиц ИГ.

Чтобы найти среднее число частиц , модули скоростей которых лежат в интервале значений от до , нужно проинтегрировать функцию (1.13) в заданных пределах[1]:

.

Вероятность обнаружения, или, другими словами, относительное число частиц ИГ, модуль скорости которых лежит в интервале значений от до , равна:

.

Вероятность обнаружения (относительное число) частиц ИГ, модуль скорости которых принимает значение в интервале от до , находится по формуле:

.

Значение модуля скорости, при котором распределение Максвелла (1.12) максимально, называется наиболее вероятной скоростью. Наиболее вероятная скорость .

С помощью распределения Максвелла можно найти среднее значение любой функции, зависящей от скорости частицы. Например, среднее значение модуля скорости и среднеквадратичная скорость соответственно равны: и .

Для решения задач на распределение Максвелла в дополнение к интегралу (1.8) понадобятся следующие интегралы [2]:

; ; .

Кроме того, с учетом свойства монотонности подынтегральной функции значение интеграла (1.14) (и подобных ему) при близких значениях пределов интегрирования и () достаточно точно вычисляется по приближенной формуле: , где – значение функции распределения Максвелла (1.12) при .

Дата добавления: 2014-12-08