Предел и непрерывность функции

Числовая последовательность

Если каждому натуральному n из множества натуральных чисел по некоторому правилу поставить в соответствие действительное число x_n, то множество пронумерованных чисел

x ₁, x ₂, x ₃, …, x_n, … (1)

называется числовой последовательностью.

При этом числа x_i (i = 1, 2, 3, …, n, …) называются членами последовательности, символ x_n — общим членом, а число n является его номером.

Например, общий член x_n задается некоторой формулой x_n = n ². Полагая поочередно n = 1, 2, 3, …, получим числовую последовательность 1, 4, 9, ….

Пусть X и Y — некоторые множества, и пусть каждому поставлен в соответствие по определенному правилу f единственный элемент . Тогда говорят, что на множестве X задана функция одной переменной со значениями в множестве Y. Обозначение: y = f (x). В этом случае X — область определения функции. Обозначение: D (f).

Всякий интервал, содержащий точку x ₀, называется окрестностью точки x ₀.

Пусть . Интервал (x ₀ – ; x ₀ + ) называется - окрестностью точки x ₀.

Определение предела функции по Коши. Пусть функция y = f (x) определена в -окрестности точки x ₀ за исключением, быть может, точки x ₀. Тогда, если для любого , сколь угодно малым бы оно ни было, существует такое , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство , то число B называется пределом функции в точке x ₀. Обозначение: .

Число В называется пределом функции f (x) в бесконечности, если для любого даже сколь угодно малого положительного числа найдется такое , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Обозначение: .

Если для всех и выполняется неравенство , то . Если для всех и выполняется неравенство , то .

Рассмотрим , (). Если существует предел функции при х, стремящемся к х ₀, то он называется левым (правым) пределом функции в точке х ₀. Обозначение: .

Факт существования в точке х ₀ предела функции у = f (x) равносилен факту существования в этой точке равных между собой односторонних пределов .

Функция y = f (x) называется непрерывной в точке х ₀, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции (рис. 10).

Рис. 10

Функция y = f (x) называется непрерывной в точке х ₀, если предел функции в точке х ₀ равен значению функции в этой точке, т. е. .

Функция f (x) называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва функции.

Дата добавления: 2014-12-08