Применение метода функциональных уравнений в определении оптимальных сроков замены оборудования

Одной из важных экономических проблем является определение оптимальной стратегии в замене старых станков, агрегатов, машин на новые. Старение оборудования означает его физический и моральный износ, в результате чего растут производственные затраты на выпуск продукции на старом оборудовании, увеличиваются затраты на его ремонт и обслуживание, снижаются производительность и ликвидная стоимость. Наступает время, когда старое оборудование выгоднее продать и заменить новым, чем эксплуатировать ценой больших затрат. Причем его можно заменить новым оборудованием того же вида или иным, более совершенным.

Оптимальная стратегия замены оборудования состоит в определении оптимальных сроков замены. Критерием оптимальности могут служить прибыль от эксплуатации оборудования, которую следует максимизировать, или суммарные затраты на эксплуатацию в течение рассматриваемого промежутка времени, подлежащие минимизации. Введем обозначения:

r(t) — стоимость продукции, производимой за один год на единице оборудования возраста t лет; u(t) — ежегодные затраты на обслуживание оборудования возраста t лет; s(t) — остаточная стоимость оборудования возраста t лет; Р — покупная цена оборудования.

Рассмотрим период N лет, в пределах которого требуется определить оптимальный цикл замены оборудования.

Пусть f_N(t) — максимальная прибыль, получаемая от оборудования возра­ста t лет за оставшиеся N лет цикла использования оборудования при условии оптимальной стратегии.

Возраст оборудования отсчитывается в направлении течения процесса. Так, t=0:::ответствует случаю использования нового оборудования. Временные же стадии процесса нумеруются в обратном направлении по отношению к ходу процесса. -Так, п = 1 относится к одной временной стадии, остающейся до завершения процесса, а п=N — к началу процесса.

На каждом этапе N-стадийного процесса должно быть принято решение о ранении или замене оборудования. Выбранный вариант должен обеспечивать получение максимальной прибыли.

Функциональные уравнения, основанные на принципе оптимальности, имеют вид

Уравнение (1) описывает N-стадийный процесс, а уравнение (2) — одностадийный. Оба уравнения состоят из двух частей: верхняя строка определяет прибыль, получаемую при сохранении оборудования; нижняя — прибыль, получаемую при замене оборудования и продолжении процесса работы на новом оборудовании.

В уравнении (1) функция r(t) — u(t) показывает разность между стоимостью произведенной продукции и эксплуатационными издержками на N -й стадии процесса.

Функция f_N(t+1) характеризует суммарную прибыль от N — 1 оставшихся стадий для оборудования, возраст которого в начале осуществления этих стадий составляет t+1 лет.

Нижняя строка (2) характеризуется следующим образом: функция s(t) — Р представляет собой чистые издержки по замене оборудования, возраст которого t лет.

Функция r(t) — u(t) выражает прибыль, получаемую от нового оборудования возраста нуль лет. Предполагается, что переход от работы на оборудовании возраста t лет к работе на новом оборудовании совершается мгновенно, т.е. период замены старого оборудования и переход на работу на новом оборудовании укладываются в одну и ту же стадию.

Последняя функция f_N-1(1) в (1) представляет собой доход от оставшихся N — 1 стадий, до начала осуществления которых возраст оборудования составляет один год.

Аналогичная интерпретация может быть дана уравнению (2) для одностадийного процесса.

Уравнения (1) и (2) являются рекуррентными соотношениями, которые позволяют определить величину f_N(t) в зависимости от f_N(t+1). Структура этих уравнений показывает, что при переходе от одной стадии процесса к следующей возраст оборудования увеличивается с t до t + 1 лет, а число оставшихся стадий уменьшается с N до N — 1.

Расчет начинают с использования уравнения (1). Уравнения (1) и (2) позволяют оценить варианты замены и сохранения оборудования с тем, чтобы выбрать тот из них, который предполагает большую прибыль. Эти соотношения дают возможность не только определить линию поведения при решении вопроса о сохранении или замене оборудования, но и рассчитать прибыль, получаемую при принятии каждого из этих решений.

Пример. Определить оптимальную стратегию эксплуатации оборудо­вания на 5 лет при следующих исходных данных: Р = 10, s(t) = 0. Значения функции f(t)= r(t) - u(t) заданы в табл.

N
t
f(t)

Решение. Уравнения (1) и (2) запишем в виде

Для стадии с номером n = 1 имеем:

Вычисления продолжаем до тех пор, пока не будет выполнено условие т.е. в данный момент оборудование необходимо заменить, так как величина прибыли, получаемая в результате замены оборудования, больше, чем в случае использования старого. Результаты расчетов помещаем в табл., момент замены отмечаем звездочкой (*), после чего дальнейшие вычисления по строке прекращаем.

Можно не решать каждый раз уравнения, а вычисления проводить в таблице.

Таким образом, для получения максимальной прибыли от использования оборудования оптимальный срок его замены составляет 4 года.

Дата добавления: 2014-12-27