Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число .

Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число .

Вычитание комплексных чисел вводится как операция, обратная сложению; деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умножению.

Правила вычитания и деления комплексных чисел и определяются формулами:

;
, где .

Формулы, определяющие правила действий над комплексными числами в алгебраической форме, не нуждаются в запоминании.

Формулы суммы, разности и произведения комплексных чисел получаются автоматически, если формально выполнить соответствующие действия над двучленами и заменить на − .

При делении на комплексное число достаточно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, т.е. на .

Возведение комплексного числа в степень производится по формулам возведения двучлена в степень, но при этом надо учитывать, что

Например,

, , .

Пример 1. Найти сумму и произведение комплексных чисел и .

Р е ш е н и е. Сумму находим формальным сложением двучленов и :

.

Произведение находим формальным перемножением двучленов и с последующей заменой на :

.

Пример 2. Даны комплексные числа и .

Найти разность и частное .

Р е ш е н и е. Разность находим формальным вычитанием двучленов и :

.

Чтобы найти частное , умножим числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное знаменателю :

Пример 3. Найти комплексное число .

Р е ш е н и е. Выполнив в знаменателе дроби возведение в степень, получим:

.

Умножив числитель и знаменатель полученной дроби на число, сопряженное знаменателю, т.е. на , получим:

Дата добавления: 2014-12-27