Формулы дифференцирования

Производная сложной функции

Пусть , где и является не независимой переменной, а функцией независимой переменной х: .

Таким образом, .

В этом случае функция у называется сложной функцией х, а переменная и-промежуточным аргументом.

Производная сложной функции находится на основании следующей теоремы: если и – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна произведению производной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента и по независимой переменной х.

Эта теорема распространяется и на сложные функции, которые задаются с помощью цепочки содержащей три звена и более.

Например, если, т.е. , то

Во всех приведённых ниже формулах буквами и и обозначены дифференцируемые функции независимой переменной х: , а буквами а, с, п – постоянные:

1 ;

2 ;

3 ;

4 ;

5 ;

6 ;

Остальные формулы записаны как для функций независимой переменной, так и для сложных функций:

7 ; 7а ;

8 ; 8а ;

9 ; 9а ;

10 ; 10а ;

11 ; 11а ;

12 ; 12а ;

13 ; 13а ;

14 ; 14а. ;

15 ; 15а ;

16 ; 16а ;

17 ; 17а ,

где .

При решении приведённых ниже примеров сделаны подробные записи. Однако следует научиться дифференцировать без промежуточных записей.

Пример 1. Найти производную функции .

Решение. Данная функция есть алгебраическая сумма функций. Дифференцируем её, используя формулы 2, 5, 7 и 8:

Пример 2. Найти производную функции .

Решение. Применяя формулы 6, 3, 7 и 1, получим:

.

Пример 3. Найти производную функции и вычислить её значение при

Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом . Используя формулы 7а. и 10, имеем .

Вычислим значение производной при :

.

Пример 4. Найти производную функции .

Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом . Применяя формулы 3, 5, 7а, 11, 16а, получим:

Дата добавления: 2014-12-27