Физический смысл производной

Геометрический смысл производной

Производная функции имеет простую и важную геометрическую интерпретацию.

Если функция дифференцируема в точке х, то график этой функции имеет в соответствующей точке касательную, причём угловой коэффициент касательной равен значению производной в рассматриваемой точке.

Угловой коэффициент касательной проведённой к графику функции в точке , равен значению производной функции при , т.е. . Уравнение этой касательной имеет вид .

Пример 5. Составить уравнение касательной к графику функции в точке .

Решение. Для нахождения углового коэффициента касательной найдём производную данной функции:

.

Угловой коэффициент касательной равен значению производной

функции при х= 3:

.

Уравнение касательной имеет вид:

, или , т.е. .

Если тело движется по прямой по закону , то за промежуток времени (от момента до момента ) оно пройдёт некоторый путь . Тогда есть средняя скорость движения за промежуток времени .

Скоростью движения тела в данный момент времени называется предел отношения приращения пути к приращению времени , если стремится к нулю:

.

Следовательно, производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения тела в данный момент времени:

.

Скорость протекания физических, химических и других процессов также выражается с помощью производной.

Производная функции равна скорости изменения этой функции при данном значении аргумента х:

.

Пример 6. Закон движения точки по прямой задан формулой ( – в метрах, – в секундах). Найти скорость движения точки в конце первой секунды.

Решение. Скорость движения точки в данный момент времени равна производной пути по времени :

.

Итак, скорость движения точки в конце первой секунды равна 9 м/с.

Пример 7. Тело, брошенное вертикально вверх, движется по закону , где – начальная скорость, – ускорение свободного падения тела. Найти скорость этого движения для любого момента времени . Сколько времени будет подниматься тело и на какую высоту оно поднимется, если м/с.

Решение. Скорость движения точки в данный момент времени равна производной пути по времени : .

В высшей точке подъёма скорость тела равна нулю:

с.

За секунд тело поднимается на высоту

м.

Дата добавления: 2014-12-27