Показательная форма комплексного числа

В тригонометрической форме

Действия над комплексными числами, заданными

Если и , то , .

Если , то

,

,

где – арифметический корень, .

Пример 7. Даны комплексные числа и . Найти их произведение и частное . Ответ записать в алгебраической форме.

Р е ш е н и е. Применяя правила умножения и деления комплексных чисел, имеем

Пример 8. Вычислить .

Р е ш е н и е. Находим

Пример 9. Вычислить .

Р е ш е н и е. Запишем число в тригонометрической форме:

,

,

или .

Тогда и, значит,

Пример 10. Вычислить . Ответ записать в тригонометрической и

алгебраической формах.

Р е ш е н и е. Запишем число в тригонометрической форме: . Следовательно,

где 0, 1, 2, 3.

При получим:

;

;

.

Рассматривая функцию для комплексного переменного, Эйлер установил замечательное соотношение , которое называется формулой Эйлера.

Из этой формулы следует, что каждое комплексное число можно записать в форме , которая называется показательной формой записи.

Над комплексными числами, заданными в показательной форме, удобно производить умножение и деление, возведение в натуральную степень и извлечение корня:

;

;

;

.

Пример 11. Представить число в алгебраической форме.

Р е ш е н и е. По условию, , откуда

,

.

Значит, .

Пример 12. Выполнить действия и записать ответ в тригонометрической и показательной формах:

.

Р е ш е н и е. Сначала выполним действия:

Теперь запишем число в тригонометрической и показательной формах, для чего найдём его модуль и аргумент:

,

.

Тогда , .

Дата добавления: 2014-12-27