Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:

, где и – некоторые числа.

Если , то дифференциальное уравнение называется линейным однородным. Оно имеет вид:

. (2)

Справедлива т е о р е м а: если и – частные решения уравнения (2), причем , то , где и – произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

Решением данного дифференциального уравнения (2) должна быть такая функция, которая, будучи подставлена в уравнение, превратит его в тождество. Левая часть уравнения представляет собой сумму функции и ее производных и , взятых с некоторыми постоянными коэффициентами. Чтобы такая сумма обратилась в нуль, надо, чтобы , и были подобны между собой.

Такой функцией является функция , где – постоянная. Требуется подобрать так, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению (2).

Так как , а , то, подставляя эти значения , и в левую часть уравнения (2), получим

.

Сокращая на множитель , не обращающийся в нуль, получим характеристическое уравнение

. (3)

Это уравнение определяет те значения , при которых функция является решением дифференциального уравнения (2). При решении характеристического уравнения (3) возможны три случая:

Корни уравнения	Частные решения	Общее решение
1Действительные различные
2Действительные равные
3Комплексно-сопряжённые

Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Р е ш е н и е. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

Корни характеристического уравнения являются действительными и различными. Поэтому – частные решения, а – общее решение данного дифференциального уравнения.

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение или имеет действительные равные корни . Поэтому частные решения, а – общее решение данного дифференциального уравнения.

Пример 8. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Р е ш е н и е. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

Корни уравнения являются комплексно - сопряженными. Поэтому – частные решения, а – общее решение данного дифференциального уравнения.

Пример 9. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям при .

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение или имеет действительные равные корни , поэтому – частные решения, а – общее решение данного дифференциального уравнения.

Для определения частного решения, удовлетворяющего данным начальным условиям, сначала найдем производную функции :

Теперь подставим начальные условия в выражения для и :

или

откуда .

Подставив эти значения в общее решение, найдем частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям: .

Дата добавления: 2014-12-27