Случайные события. Вероятность события

Теория вероятностей – это математическая наука, которая изучает закономерности в случайных событиях. К основным понятиям теории вероятностей относятся испытания и события.

Под испытанием (опытом) понимают реализацию данного комплекса условий, в результате которого непременно произойдет какое-либо событие.

Например, бросание монеты – испытание; появление герба или цифры – события.

Случайным событием называется событие, связанное с данным испытанием, которое при осуществлении испытания может произойти, а может не произойти. Слово «случайное» для краткости часто опускают и говорят просто «событие». Например, выстрел по цели – это опыт, случайные события в этом опыте – попадание в цель или промах.

Событие в данных условиях называется достоверным, если в результате опыта оно непременно должно произойти, и невозможным, если оно заведомо не произойдет.

Например, выпадание не более шести очков при бросании одной игральной кости – достоверное событие; выпадание десяти очков при бросании одной игральной кости – невозможное событие.

События называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе. Например, попадание и промах при одном выстреле – это несовместные события.

Говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную систему событий, если в результате опыта непременно должно произойти, хотя бы одно из них. Например, при бросании игральной кости события, состоящие в выпадании одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков, образуют полную систему событий.

События называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие. Например, при бросании монеты

выпадание герба или числа – события равновозможные.

Каждое событие обладает какой-то степенью возможности. Числовая мера степени объективной возможности события – это вероятность события. Вероятность события А обозначается Р (А).

Пусть из системы n несовместных равновозможных исходов испытания m исходов благоприятствуют событию А. Тогда вероятностью события А называют отношение m числа исходов, благоприятствующих событию А, к числу всех исходов данного испытания: .

Эта формула носит название классического определения вероятности.

Если В – достоверное событие, то m = n и Р (В) = 1; если С – невозможное событие, то m = 0 и Р(С) = 0; если А – случайное событие, то и Р(А) 1.

Пример 7. Игральную кость подбрасывают один раз. Найти вероятность событий: А – появление четного числа очков; В – появление не менее пяти очков; С – появление не более пяти очков.

Р е ш е н и е. Опыт имеет шесть равновозможных независимых исходов (появление одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков), образующих полную систему.

Событию А благоприятствует три исхода (выпадание двух, четырех и шести очков), поэтому Р (А)=3/6=1/2; событию В – два исхода(выпадание пяти и шести очков), поэтому Р(В)=2/6=1/3; событию С – пять исходов (выпадание одного, двух, трех, четырех и пяти очков), поэтому Р(С)=5/6.

При вычислении вероятности часто приходится использовать формулы комбинаторики. Рассмотрим примеры непосредственного вычисления вероятностей.

Пример 8. В урне находится 7 красных и 6 синих шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара красные (событие А)?

Р е ш е н и е. Число равновозможных независимых исходов равно:

.

Событию А благоприятствуют исходов. Следовательно, Р (А) = .

Пример 9. В партии из 24 деталей пять бракованных. Из партии выбирают наугад 6 деталей. Найти вероятность того, что среди этих шести деталей окажутся две бракованных (событие В).

Р е ш е н и е. Число равновозможных независимых исходов равно

.

Подсчитаем число исходов m, благоприятствующих событию В. Среди шести взятых наугад деталей должно быть две бракованных и 4 стандартных. Две бракованные детали из пяти можно выбрать способами, а 4 стандартных детали из 19 стандартных деталей можно выбрать способами.

Каждая комбинация бракованных деталей может сочетаться с каждой комбинацией стандартных деталей, поэтому m = . Следовательно, .

Пример 10. Девять различных книг расставлены наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что четыре определенные книги окажутся поставленными рядом (Событие С).

Р е ш е н и е. Здесь число равновозможных независимых исходов есть Подсчитаем число исходов m, благоприятствующих событию С. Представим себе, что четыре определенные книги связаны вместе, тогда эту связку можно расположить на полке Способами (связка плюс остальные пять книг). Внутри связки четыре книги можно переставлять способами. При этом каждая комбинация внутри связки может сочетаться с каждым из способов образования связки, т.е. m = . Следовательно, Р (С) = .

Дата добавления: 2014-12-27