Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

ЗАНЯТИЕ 9. Определители n-го порядка: свойства определителей и способы вычисления




Прочти, реши и опять прочти!..

 

Настоящее методическое пособие предназначено помочь студентам в освоении теоретических вопросов предмета «Линейная алгебра» путём использования подробно решённых задач и примеров.

Одновременно, пособие должно помочь наиболее мотивированным студентам развивать навыки самостоятельной работы, что очень важно при подготовке инженера любой специальности.

Тем, кто захочет воспользоваться возможностью показать себя постоянно и эффективно работающим, привлечь к себе внимание преподавателей и научных руководителей, приобрести авторитет среди своих товарищей, пособие тоже окажет помощь.

Рассмотренные и доступные с самого начала семестра материалы помогут качественно готовиться и к лекциям, и практическим занятиям, и к различным контрольным испытаниям.

 

СОДЕРЖАНИЕ:

Тема занятия: Стр.
9. Определители n-го порядка: свойства определителей и способы вычисления.  
10. Линейные операции с матрицами: умножение на число и сложение матриц. Произведение матриц. Вырожденные матрицы. Определитель произведения квадратных матриц.  
11. Обратная матрица: определение, способы вычисления. Матричные уравнения и способы их решения.  
12. Линейное пространство n-векторов. Линейная зависимость n-векторов. Определения ранга матрицы и его вычисление для совокупности векторов и матрицы.  
13. Неоднородные системы уравнений. Решение системы уравнений методом Гаусса и по правилу Крамера.  
14. Неоднородные системы уравнений. Общее решение систем уравнений с использованием теоремы Кронекера-Капелли.  
15. Однородные системы уравнений. Общее решение системы уравнений, Фундаментальная система решений. Связь решения неоднородной системы уравнений и соответствующей ей однородной системы.  
16. Контрольная работа №2. Прием части-2 БДЗ.  
17. Систематизация материала по всем темам Занятий 1-16. О подготовке к экзамену.  

•◄●►•

 

Замечание: если в рассматриваемом Задании пример имеет номер 9-5, это значит, что в Задании 9 пример имеет номер по порядку 5.

 

☺ ☻ ☺

Пример 9–1: Разлагая определитель по 2-му столбцу, вычислить: .

Решение:

Замечание: удобно вынести множитель из столбца-4, и только потом применять разложение по столбцу!

1) Запишем: – d = a + b + c +e ,

или: d = + .

2) Вычислим все определители разложения: = (1) = = (2) = =2.

Операции: (1): [C1]–[C3]. (2): применяем разложение определителя по столбцу-1 и завершаем вычисление.

= (1) = = (2) =4· =8.

Операции: (1): [C1]–[C3]. (2): применяем разложение определителя по столбцу-2 и завершаем вычисление.

= (1) = = (2) = =1· =1.

Операции: (1): [R3]–[R2];. (2): [C1]–[C3]. (3): применяем разложение определителя по строке-3 и завершаем вычисление.

= (1) = = (2) = = (3) =–1 =–5.

Операции: (1): [C1]–[C2]. (2): [R1]+[R3]·3. (3): применяем разложение определителя по столбцу-1 и завершаем вычисление.

3) Окончательно имеем: = .

 

Ответ: d = .

Пример 9–2: Вычислить определитель: .

Решение:

Воспользуемся свойствами определителя и вычислим:

= (1) = – e · = (2) =– · = .

Операции: (1): применим разложение определителя по строке-4. (2): применяем разложение по столбцу-1 и завершаем вычисление.

Ответ: .

Пример 9–3: Вычислить определитель: разложением по строке (столбцу).

Решение:

Применяя операции со строками и столбцами, добьёмся максимальной простоты чисел-элементов определителя:

d = (1) = = (2) =10· = (3) =10· =100.

Операции: (1): [C1]–[C5]; [R2]–[R1]; [R3]–[R1]; [R4]–[R1]·2; [R5]–[R1]·2. (2): применяем разложение определителя по столбцу-1, вынося множитель 2 из получающегося определителя 4-го порядка. (3): [R3]+[R1]; [R4]–[R1]. (4): получен определитель треугольного вида → завершаем вычисление.

Ответ: d =100.

Пример 9–4: Вычислить определитель: .

Решение:

1) Запишем: d = (1) = = (2) = = (3) = = (4) =

= = (5) = =5.

Операции: (1): [C2]–[C3]; [C2]–[C3]; [C4]–[C1]; [C3]–[C4]. (2): [R1]–[R5]. (3): применяем разложение определителя по строке-1. (4): [R1]–[R4]. (5): применяем разложение определителя по строке-1; [R1]–[R3] и завершаем вычисление.

Ответ: d =5.

Пример 9–5: Вычислить определитель: d= .

Решение:

Используя свойства определителя, выполним действия:

1) Прибавим 1-ю строку к 2-й, 3-й, и т.д. строкам → получен определитель треугольного вида с элементами на главной диагонали 1, 2, 3, …, n;

2) Известно, что такой определитель равен произведению элементов расположенных на главной диагонали: 1·2·3· … · n = n!

Ответ: d = n!

Вопросы для самопроверки:

1. Может ли определитель n -го порядка не быть числом?

2. Изменится ли определитель n -го порядка, если в нем строки заменить столбцами и наоборот?

3. Изменится ли определитель n -го порядка, если в нем строки (или столбцы) поменять местами?

4. Изменится ли определитель n -го порядка, если в нем из одной строки вычесть другую строку?

5. Изменится ли определитель n -го порядка, если в нем из одного столбца вычесть другой столбец?

6. Изменится ли определитель n -го порядка, если в нем строку умножить на число?

7. Применение теоремы Лапласа предполагает уменьшение трудоемкости вычисления определителей высокого по­рядка?

Задачи для самоподготовки:

Пример C91: Разлагая определитель по 3-й строке, вычислить: .

Ответ:d = .

Пример C92: Вычислить определитель: .

Ответ: .

Пример C93: Вычислить определитель: .

Ответ:d =5.

Пример C94: Вычислить определитель: .

Ответ:d = n!.

< * * * * * >




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 645; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.008 сек.