ЗАНЯТИЕ 13. Неоднородные системы уравнений. Решение системы уравнений методом Гаусса и по правилу Крамера

☺ ☻ ☺

Пример 13 – 1: Решить систему линейных уравнений: методом Гаусса.

Решение:

1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:

	-2	-5							-6	-4
	-3			-3				-7
			-4	-3	=(1)→					-9	=(2)→
	-1	-4						-3	-4

			-4	-3						-4	-3
				-9							-9
				-60	=(3)→					-58	=(4)→
				-2							-2

Выполнены операции: (1): [R1]–[R2]; [R2]–[R3]·2; [R4]–[R3]; [R3]–[R1]. (2): [R4]+[R3]·3; [R1]+[R3]; поменяем местами строки [R2] и [R3]; [R3]+[R2]·7. (3): [R3]–[R4]. (4): раскрываем уравнения для вычислений.

2). Получены результаты: - система совместна;

- ранг системы равен 4 → решение системы единственно.

3). Из уравнения [R3] следует: =–2; далее из уравнения [R4]: =2; из уравнения [R2]: =3; из уравнения [R1]: =–1.

Ответ: (–1, 3, –2, 2).

Пример 13 – 2: Решить систему уравнений: методом Гаусса.

Решение:

1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:

=(1)→

=(2)→

=(3)→

=(4)→

=(5)→

=(6)→

Выполнены операции: (1): [R5]–[R4]; [R4]–[R3]; [R3]–[R2]; [R2]–[R1]. (2): [R5]–[R4]; [R4]–[R3]; [R3]–[R2]. (3): [R5]–[R4]; [R4]–[R3]; [R5]–[R4]. (4): [R4]–[R5]·4; [R3]–[R5]·6; [R2]–[R5]·4; [R1]–[R5]. (5): [R3]–[R4]·3; [R2]–[R4]·3; [R1]–[R4]; [R2]–[R3]·2; [R1]–[R3]; [R1]–[R2]. (6): раскрываем таблицу и вычисляем все неизвестные.

2). Получены результаты: - система совместна;

- ранг системы равен 5 → решение системы единственно.

3). Из уравнения [R4] следует: =–2; далее из уравнения [R2]: 5 =–5, откуда вычисляем: =–1; из уравнения [R3]: = , откуда вычисляем: =3; из уравнения [R5]: = , откуда вычисляем: =2.; из уравнения [R1]: = , откуда вычисляем: =0.

4). Читаем значения неизвестных: (, , , , )=(5,4,3,2,1).

Ответ: (, , , , ) =(5,4,3,2,1).

Пример 13 – 3: Решить систему уравнений: по правилу Крамера.

Решение:

1) Используя коэффициенты левой части заданной системы линейных уравнений, запишем определитель: = и вычислим его: =2.

2) Вычислим определители:

= =2, = =2, = =–2, = =–2.

3) Применяя формулы Крамера: , , получаем: = =1, = =–1.

Ответ: решение: (1,1,–1,–1).

☻

Вопросы для самопроверки:

1. Можно ли, применяя метод Гаусса, провести полное исследование решений системы линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных?

2. Можно ли решить систему уравнений методом Гаусса, если все значения свободных членов b _i, = 1, 2, …, n равны нулю?

3. Можно ли любую систему уравнений записать в виде матричного уравнения AX = B?

4. Можно ли, применяя правило Крамера, провести полное исследование решений системы линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных?

5. Можно ли решить систему уравнений по правилу Крамера, если все значения свободных членов b _i, = 1,2, …, n равны нулю?

Задачи для самоподготовки:

Пример C13 – 1: Решить систему линейных уравнений: методом Гаусса.

Ответ: (2, 1, –3, 1).

Пример C13 – 2: Решить систему линейных уравнений: методом Гаусса.

Ответ: система уравнений несовместна.

Пример C13 – 3: Решить систему уравнений: по правилу Крамера.

Ответ: система уравнений решений не имеет.

< * * * * * >

Дата добавления: 2014-12-27