Численные методы

(Вычислительная математика)

Санкт-Петербург

УДК 519.3

ББК 22.18

М

Утверждено редакционно-издательским советом СПбГИЭУ

в качестве учебного пособия по дисциплине «Численные методы» и «Вычислительная математика» для следующих направлений и профилей подготовки:

Направление подготовки 080100 Экономика

Профиль подготовки Математические методы в экономике

Направление подготовки 230700 Прикладная информатика

Профиль подготовки Прикладная информатика в экономике

Направление подготовки 230400 Информационные системы и технологии

Направление подготовки 090900 "Информационная безопасность

Квалификация бакалавр

Рецензенты:

кафедра высшей математики СПбГЛТУ (канд физ.-мат. наук, доцент, зав. кафедрой В.Н.Куликов, канд. физ.мат. наук Н.И. Федоренко),

доктор физ.-мат. наук, проф. зав. кафедрой прикладной математики и информатики СПбГАСУ Вагер Б.Г.

Галилеев М.М., Гончар Л.И., Грузина Т.Н. Численные методы: учеб. пособие.- СПб.: СПбГИЭУ, 2012.-

В пособие излагаются приближённые методы решения задач общего курса высшей математики, имеющих прикладное значение. Основная цель пособия - обеспечить самостоятельную работу студентов при ознакомлении с этими методами и выполнении расчётных заданий по курсу численные методы.

© СПбГИЭУ, 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие………………………. ……………………………4

Введение………………………………………………………….5

Глава 1. Элементарная теория погрешностей........................10

1.1. Приближенные числа и их погрешности……………………10

1.2. Правила приближенных вычислений и оценка погрешностей при вычислениях …………………………………………………12

1.3. Неустранимая погрешность значения функции…………...17

1.4. Обеспечение заданной точности результата……………….22

Глава 2.Численные методы решения уравнений ……………24

2.1. Итеративные методы решения нелинейных уравнений……24

2.2. Метод половинного деления…………………………………27

2.3. Метод хорд……………………………………………………29

2.4. Метод касательных (метод Ньютона)………………………31

2.5. Комбинированный метод хорд и касательных…………….32

2.6. Метод итераций………………………………………………33

2.7. Приближенное решение систем линейных уравнений методом итераций………………………………………………………40

2.8.Приближённое решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона……………………………………………………….41

2.9. Метод итераций для нелинейных систем уравнений………48

Глава 3. Приближенное представление функций.................50

3.1. Интерполирование алгебраическими многочленами………53

3.2. Единственность интерполяционного многочлена…………..55

3.3. Интерполяционная формула Лагранжа………………………55

3.4. Погрешность интерполяционной формулы Лагранжа….…57

3.5. Погрешность линейной интерполяции………………………62

3.6.Конечные разности и их свойства……………………………64

3.7.Интерполяционная формула Ньютона (для равностоящих узлов)…………………………………………………………………67

3.8. Погрешность формулы Ньютона……………………………70

3.9. Интерполяционные сплайны. Параболические интерполяционные сплайны ……………………………………………………72

3.10. Эмпирические формулы и метод наименьших квадратов. Определение параметров эмпирической формулы…………….77

Глава 4. Численное дифференцирование ……………………..82

4.1. Дифференцирование на основе интерполяционной формулы Ньютона…………………………………..……………….………..83

4.2. Дифференцирование на основе формулы Стирлинга………85

4.3.Дифференцирование на основе интерполяционной формулы Лагранжа……………………………………………………………87

Глава 5 Численное интегрирование функций ……………….88

5.1. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса…………………...89

5.2. Формула трапеций……………………………………………91

5.3. Формула Симпсона (формула парабол)……………….……95

5.4. Формулы Ньютона – Котеса высших порядков……………98

Глава 6. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений …………………………………..…...100

6.1.Метод Эйлера………………..……………………….…….....100

6.2. Метод Рунге – Кутта……………………………………..…107

6.3. Метод Адамса…………………………………………….…108

Глава 7. Численные методы оптимизации ……………….…112

7.1. Градиентные методы…………………………………………112

7.2. Метод Франка –Вулфа…………………………………….....115

7.3. Метод наискорейшего спуска………………………………120

7.4. Метод штрафных функций…………………………………..123

Литература ……………………………………………………….125

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее методическое пособие написано в соответствии с требованиями государственных общеобразовательных стандартов по математике для специалистов и бакалавров в области экономики. Методическое пособие включает в себя раздел численные (вычислительные) методы. В методическом пособии уделяется внимание основным численным методам необходимым для применения к экономическим исследованиям. Цель дисциплины – дать необходимый математический аппарат и привить навыки его использования при решении инженерно-экономических задач.

Численные методы изучаются как средство формирования фундаментальных знаний и как аппарат для экономических исследований. Материал пособия является необходимой основой для проведения междисциплинарных современных экономических исследований, а также для овладения новыми технологиями и их внедрением в научные исследования.

Численные методы - средство анализа математико-экономических моделей, для которых неприменимы или трудоёмки аналитические методы. Пособие необходимо для использования численных методов в практической деятельности, учит алгоритмическому мышлению. Основная задача пособия – научить студентов и аспирантов, а также молодых ученых методам построения математических моделей экономических ситуаций с дальнейшим их решением с применением вычислительной техники на основе рассматриваемых алгоритмов численных методов с последующим анализом, имеющим целью принятия рационального или оптимального решения. В результате достигается также развитие логического, математического и алгоритмического мышления.

Пособие рекомендуется бакалаврам, магистрам, специалистам, аспирантам, а также молодым учёным и преподавателям занимающимся решением инженерно-экономических задач.

Дата добавления: 2014-12-27