Формула трапеций. Вычислим коэффициенты Котеса при

Вычислим коэффициенты Котеса при .

Значения коэффициентов удовлетворяют условиям (7), следовательно, используя квадратурную формулу (6) получим следующую формулу для вычисления определенного интеграла

(8).

Формула (8) называется формулой трапеций для приближенного вычисления определенного интеграла. Остаточный член (ошибка) квадратурной формулы (8) равен

(9).

Если , то (10)

Для вычисления интеграла можно разделить промежуток интегрирования на равных частей и к каждому из них применить формулу трапеций (8). Полагая, получим

. (16)

Геометрический смысл формулы (16) состоит в том, что график подынтегральной функции заменяется ломаной линией.

Ошибка общей формулы трапеций (16) составляет

(17)

Пример.

Вычислить интеграл по формуле трапеций с тремя десятичными знаками.

Для достижения требуемой точности необходимо определить количество точек разбиения n, удовлетворяющее условию

, где - пределы интегрирования, , где .

Находим производные

Оценим максимальное значение второй производной на отрезке интегрировании, для этого в числитель подставим верхний предел, в знаменатель – нижний:

Пусть , тогда Возьмем . Результат вычислений приведен в таблице.

	0,6000	0,3600	4,8200	2,1954	0,4555
	0,6250	0,3906	5,1875	2,2776	0,4391
	0,6500	0,4225	5,5700	2,3601	0,4237
	0,6750	0,4556	5,9675	2,4428	0,4094
	0,7000	0,4900	6,3800	2,5259	0,3959
	0,7250	0,5256	6,8075	2,6091	0,3833
	0,7500	0,5625	7,2500	2,6926	0,3714
	0,7750	0,6006	7,7075	2,7762	0,3602
	0,8000	0,6400	8,1800	2,8601	0,3496
	0,8250	0,6806	8,6675	2,9441	0,3397
	0,8500	0,7225	9,1700	3,0282	0,3302
	0,8750	0,7656	9,6875	3,1125	0,3213
	0,9000	0,8100	10,2200	3,1969	0,3128
	0,9250	0,8556	10,7675	3,2814	0,3047
	0,9500	0,9025	11,3300	3,3660	0,2971
	0,9750	0,9506	11,9075	3,4507	0,2898
	1,0000	1,0000	12,5000	3,5355	0,2828
	1,0250	1,0506	13,1075	3,6204	0,2762
	1,0500	1,1025	13,7300	3,7054	0,2699
	1,0750	1,1556	14,3675	3,7904	0,2638
	1,1000	1,2100	15,0200	3,8756	0,2580
	1,1250	1,2656	15,6875	3,9607	0,2525
	1,1500	1,3225	16,3700	4,0460	0,2472
	1,1750	1,3806	17,0675	4,1313	0,2421
	1,2000	1,4400	17,7800	4,2166	0,2372
	1,2250	1,5006	18,5075	4,3020	0,2324
	1,2500	1,5625	19,2500	4,3875	0,2279
	1,2750	1,6256	20,0075	4,4730	0,2236
	1,3000	1,6900	20,7800	4,5585	0,2194
	1,3250	1,7556	21,5675	4,6441	0,2153
	1,3500	1,8225	22,3700	4,7297	0,2114
	1,3750	1,8906	23,1875	4,8153	0,2077
	1,4000	1,9600	24,0200	4,9010	0,2040

Значение интеграла вычисляем по формуле

,

где .

.

Для проверки полученного результата вычислим данный интеграл с помощью формулы Ньютона – Лейбница.

Результат вычислений показывает, что формула трапеций дает значение, совпадающее до третьего знака после запятой с точным значением.

Дата добавления: 2014-12-27