Свойства неопределенного интеграла

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Таблица основных неопределенных интегралов

1. ;

2. ;

3. ;

4.

5.

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ,

11. ;

12. ;

13. ;

14. .

1.2. Основные методы интегрирования

1. Метод непосредственного интегрирования основан на свойствах 3, 4 и таблице неопределенных интегралов.

Пример 1.1. Вычислить .

Решение. Применяя свойства 3, 4 и таблицу, получаем:

=

.

2. М етод подстановки или замены переменных основан на формулах:

,

.

Пример 1.2. Вычислить .

Положим . Тогда . Сделаем замену

.

Пример 1.3. Вычислить .

Положим . Тогда . Сделаем замену

=

.

3. Интегрирование по частям выполняется по формуле

,

полученной из равенства .

Пример 1.4. Вычислить .

.

Пример 1.5. Вычислить .

=

.

Методы интегрирования основных классов функций (дробно-рациональных, тригонометрических, иррациональных) можно найти в литературе [1], [2].

Задание 1

Найти неопределенные интегралы.

1.1. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.2. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.3. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.4. a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.5. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.6. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.7. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.8. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.9. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.10. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.11. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.12. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.13. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.14. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.15. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.16. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.17. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.18. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.19. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.20. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.21. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е)

1.22. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.23. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.24. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.25. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.26. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.27. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.28. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.29. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.30. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

Тема 2. ОПРЕДЕЛЕНЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Интегральной суммой функции на отрезке называется сумма , где , причем .

Если существует предел интегральной суммы при , не зависящий от способа разбиения отрезка на частичные отрезки и выбора промежуточных точек , то функция называется интегрируемой на этом отрезке, а сам предел – определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается .

Таким образом,

.

Если кусочно-непрерывна на , то она интегрируема на этом отрезке.

Пусть – одна из первообразных непрерывной на функции , тогда справедлива формула Ньютона–Лейбница

. (2.1)

Для любых .

Если функции и непрерывны вместе со своими производными на , то имеет место формула интегрирования по частям:

. (2.2)

Если функция непрерывна на , а функция непрерывно дифференцируема и строго возрастает на , то справедлива формула

, (2.3)

называемая формулой замены переменной в определенном интеграле.

Пример 2.1. Вычислить интегралы:

а) ; б) .

Дата добавления: 2014-12-27