Решение. а) Введем новую переменную интегрирования

а) Введем новую переменную интегрирования . Тогда . Найдем пределы интегрирования по переменной . Из формулы при , следует, что , т. е. ; при , следует, что , т.е. . Тогда по формуле (2.3) получаем

= .

б) Применим интегрирование по частям:

=

.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , прямыми и осью Ох (рис. 1), вычисляется по формуле (2.4).

. (2.4)

Если , то .

Площадь плоской фигуры, изображенной на рис. 2 (здесь ), вычисляется по формуле

. (2.5)

Y

X

Рис. 1

Y

X

Рис. 2

Пример 2.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение. Даны уравнения парабол и прямой. Параболы построим, приведя их уравнения к виду и . Проведя прямую , определим, площадь какой фигуры требуется вычислить (рис. 3). Ясно, что нижний предел интегрирования в этой формуле равен . Верхним пределом интегрирования будет являться абсцисса одной из точек пересечения парабол, которую найдем, решая систему

.

Корень последнего уравнения и есть абсцисса точки пересечения (второй корень ).

Y

-1 1 3 5 X

Рис. 3

Имеем

.

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, которая ограничена графиком функции , прямыми и осью Ох вычисляется по формуле

. (2.6)

Если фигура, ограниченная графиком двух функций и и прямыми , вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения

. (2.7)

Пример 2.4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями .

Решение. Построив окружность и прямую , получим круговой сегмент (рис. 4). При вращении его вокруг оси Ох образуется тело, объем которого вычисляется по формуле (2.7), так как этот сегмент ограничен графиком двух функций и , причем . Таким образом,

= .

Y

X

0 2

Рис. 4

Если плоская кривая задана уравнением , то длина ее дуги от точки А с абсциссой a до точки В c абсциссой вычисляется по формуле

. (2.8)

Если кривая задана параметрически:

где ( значения параметра , соответствующие концам рассматриваемой дуги), то длина дуги определяется формулой

. (2.9)

Пример 2.5. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнениями:

а) от начала координат до точки ;

б) при .

Решение. а) Находим .

В соответствии с формулой (2.8) (полагая в ней ) имеем:

.

б) Вычисляем

,

,

.

Согласно формуле (2.9) имеем

.

Задание 2

2.1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

2.2. Найти длину дуги линии .

2.3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

2.4. Найти длину дуги линии , отсеченной прямой .

2.5. Найти объем тела, полученного вращением фигуры Ф: вокруг оси Ох.

2.6. Найти площадь фигуры, образованной линиями .

2.7. Найти длину дуги линии .

2.8. Найти объем тела, полученного вращением фигуры Ф: вокруг оси Ох.

2.9. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

2.10. Найти длину дуги линии .

2.11. Найти объем тела, полученного вращением фигуры Ф: вокруг оси Ох.

2.12. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

2.13. Найти длину дуги линии .

2.14. Найти объем тела, полученного вращением фигуры Ф: вокруг оси Oy.

2.15. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

2.16. Найти длину дуги линии от точки А (0; 0) до точки В (4; 8).

2.17. Найти объем тела, полученного вращением фигуры Ф: вокруг оси Ох.

2.18. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

2.19. Найти длину дуги линии (петля).

2.20. Найти объем тела, полученного вращением фигуры Ф: вокруг оси Oх.

2.21. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

2.22. Найти длину дуги линии .

2.23. Найти объем тела, полученного вращением фигуры Ф: вокруг оси Oх.

2.24. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

2.25. Найти длину дуги линии , .

2.26. Найти объем тела, полученного вращением фигуры Ф: вокруг оси Oх.

2.27. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

2.28. Найти длину дуги линии , .

2.29. Найти объем тела, полученного вращением фигуры Ф: вокруг оси Ох.

2.30. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

Тема 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Пусть функция определена на и интегрируема на любом отрезке . Тогда называется несобственным интегралом от функции в пределах от до и обозначается . Таким образом

= . (3.1)

Аналогично определяются интегралы

= . (3.2)

= + . (3.3)

(с – любая точка интервала , чаще ), где независимо друг от друга.

Если приведенные пределы существуют и конечны, то соответствующие интегралы называют сходящимися. В противном случае интегралы называются расходящимися.

Признак сравнения. Если , то из сходимости интеграла следует сходимость , а из расходимости интеграла – расходимость интеграла .

Пример 3.1. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

а) ; б) .

Дата добавления: 2014-12-27