Частные производные. Дифференциал функции

Частной производной функции по переменной в точке называется предел:

, (3)

где - приращение аргумента . Аналогично определяется частная производная функции по переменной в точке :

, (4)

где - приращение аргумента . Частные производные функции по переменной обозначают различными способами, например:

Аналогично частные производные функции по переменной обозначают следующим образом:

Заметим, что в силу определения частной производной все правила и формулы дифференцирования, введенные для функции одной переменной, сохраняются. Следует лишь помнить, что во всех этих правилах и формулах при нахождении частной производной по какому-либо аргументу все остальные аргументы считаются постоянными.

Частные производные и функции также являются функциями двух переменных и . Поэтому эти функции, в свою очередь, могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка исходной функции и обозначаются следующим образом:

- вторая частная производная функции по переменной ;

- вторая частная производная функции по переменной ;

- смешанные производные второго порядка функции .

Выражение

называется полным приращением функции в точке , а выражение

- полным дифференциалом функции .

Аналогичные формулы имеют место и для функции трех переменных .

Задание. Показать, что функция удовлетворяет уравнению:

.

Решение. Найдем соответствующие частные производные, входящие в данное уравнение:

Подставим полученные значения частных производных второго порядка от функции в исходное уравнение. Получим:

.

Следовательно, функция удовлетворяет данному уравнению.

Дата добавления: 2014-12-27