Производная в данном направлении. Градиент

Производная функции в точке в направлении , где , определяется соотношением:

,

где и - значения функции в точках и .

Если функция имеет частные производные, то справедлива формула:

, (5)

где - угол, образованный вектором с осью .

Аналогично определяется производная в данном направлении для функции трех аргументов . В этом случае:

, (6)

где - углы между вектором и соответствующими координатными осями.

Градиентом функции в точке называетсявектор, проекциями которого на координатные оси являются соответствующие частные производные данной функции:

. (7)

Аналогично определяется градиент функции трех переменных :

. (8)

Задание 1. Найти производную функции в точке в направлении вектора .

Решение. Найдем частные производные данной функции и их значения в точке :

Определим теперь значения направляющих косинусов вектора :

.

Применяя формулу (6), получим:

.

Задание 2. Для функций и найти угол между и в данной точке .

Решение. Вычислим частные производные данных функций и их значения в точке :

, , ,

, , .

Тогда в силу формулы (8):

Найдем теперь угол между градиентами функций. По формуле для косинуса угла между векторами имеем:

,

Следовательно, угол между и в данной точке равен .

5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Касательной плоскостью к поверхности в точке называется плоскость, в которой лежат все касательные в точке к различным кривым, проведенным на поверхности через эту точку.

Нормалью к поверхности в точке называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости, построенной к данной поверхности в точке .

Если уравнение поверхности задано в явном виде

,

где функция имеет непрерывные частные производные, то уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке имеет вид:

, (9)

а уравнения нормали -

. (10)

Если уравнение поверхности задано в неявном виде

,

где функция имеет непрерывные частные производные, то уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке имеет вид:

, (11)

а уравнения нормали -

(12)

Задание. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Решение. Найдем частные производные данной функции и их значения в точке :

.

Применяя формулы (9) и (10), получим:

или

- уравнение касательной плоскости и

или

- уравнения нормали.

Дата добавления: 2014-12-27