II. Вычисление производных функции одного аргумента

При вычислении производных применяются следующие правила и формулы:

, с = const,

a = const,

,

, ,

в частности

= 1,

, ,

, ,

,

,

,

,

Пример 11. Найти производную функции

Используя правило дифференцирования произведения и формулы производных и , получим:

Пример 12. Найти производную функции

По правилу дифференцирования частного получаем

Пример 13. Найти производную функции

Применим формулу производной сложной функции. Если бы нужно было вычислить значение при х = х ₀, то сначала вычисляли бы 5 х ₀, затем , затем полученный результат возвели бы в квадрат. То есть является суперпозицией трех функций, поэтому и производная будет равна произведению трех производных

Пример 14. Найти производную функции

Пример 15. Найти производную неявно заданной функции

arctg (x - 2 y) + 3 y = 2 x.

Для дифференцирования функции y = у (x), заданной неявно урав­нением

F (x,y(х)) = 0, существует формула где при вычислении частной производной функции по переменной x, переменная y считается постоянной величиной, а при вычислении частной производной по y, переменная x считается постоянной.

В рассматриваемом примере F (x, y) = arctg (x - 2 y) + 3 y -2 x.

,

.

Пример 16. Найти производную функции, заданной параметрически

Для производной функции y (x), заданной параметрически уравнениями

, существует формула .

Для рассматриваемой функции

Дата добавления: 2014-12-27