VII. Исследование на экстремум функции двух аргументов

VI. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

При вычислении частной производной аргумент у считаем постоянной величиной. При вычислении частной производной аргумент х считаем постоянной величиной

Пример 35. Найти частные производные первого порядка функции

.

,

.

Пример 36. Найти частные производные первого порядка функции .

При дифференцировании по х, постоянный множитель можно вынести за знак производной

Чтобы исследовать на экстремум функцию двух переменных z=z(x;y) необходимо найти частные производные первого порядка и точки, в которых эти производные равны нулю или не существуют. Затем находят частные производные второго порядка и вычисляют их значения в найденных точках. Обычно обозначают

.

Если D<0, то экстремума в этой точке нет;

если D>0 и A>0, то в этой точке минимум,

если D>0 и A<0, то в этой точке максимум,

если D=0, то исследование проводят другим способом.

Пример 37. Исследовать на экстремум функцию

Найдем частные производные первого порядка

Эти частные производные существуют всегда, поэтому найдем стационарные точки, т.е. точки, в которых обе производные равны нулю.

Таким образом, если функция имеет экстремум, то он достигается именно в точке (-0,6;-1,2). Найдем частные производные второго порядка.

Следовательно, функция экстремума не имеет.

Пример 38. Исследовать на экстремум функцию .

Найдем частные производные первого порядка

Эти частные производные существуют всегда, поэтому найдем стационарные точки, т.е. точки, в которых обе производные равны нулю.

Таким образом, если функция имеет экстремум, то он достигается именно в точке (0;0). Найдем частные производные второго порядка.

Следовательно, в точке (0;0) функция имеет минимум и

СОДЕРЖАНИЕ

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ.. 3

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ... 4

1. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя. 4

2. Найти производные ....... 10

3.Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить пределы.. 17

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на сегменте [a, b] 20

5. Провести полное исследование функции и построить ее график. 21

6. Найти частные производные первого порядка функции z = f (x, y) 23

7. Исследовать на экстремум функцию z = z (x; y) 24

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ... 26

I. Вычисление пределов. 26

II. Вычисление производных функции одного аргумента. 33

III. Применение правила Лопиталя. 36

IV. Наибольшее и наименьшее значения функции на сегменте. 39

V. Исследование функций и построение их графиков. 40

VI. Вычисление частных производных. 53

VII. Исследование на экстремум функции двух аргументов. 54

Дата добавления: 2014-12-27