На сегменте

IV. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

Наибольшее и наименьшее значения функции на сегменте могут достигаться или в экстремальных точках или на концах сегмента. Поэтому, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f (x) на сегменте [а, b], нужно сделать следующее.

1) Найти производную y' и точки “подозрительные на экстремум”, принадлежащие [ a, b ]. (Т.е. точки, в которых производная равна нулю или не существует.)

2) Не выясняя вопроса о существовании экстремума в этих точках, вычислить в них значения функции.

3) Вычислить f (a) и f (b).

4) Среди всех полученных значений функции найти наибольшее и наименьшее.

Пример 20. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на [1; 5].

Найдём производную y' и точки “подозрительные на экстремум”, принадлежащие [1; 5]:

.

Производная существует на всей числовой оси и равна нулю при x = 0 и x = 4. Точка x = 0 не принадлежит [1;5]. Следовательно, единственная точка “подозрительная на экстремум” на сегменте [1;5] – точка x = 4. Вычислим значения функции в этой точке и на концах сегмента.

Итак, наибольшим значением функции на сегменте [1;5] является , а наименьшим

Дата добавления: 2014-12-27