Алгебры с одной операцией

Морфизмы

Гомоморфизм

Алгебры с различными типами имеют различное строение.

Пусть A = (A; j ₁ ,..., j_m)и B = (В; ₁, …, _m) — две алгебры одинакового типа. Если существует функция f: А В, такая что

f (φ _i(a ₁,…, a _n))= ψ _i(f (a ₁),…, f (a _n)),

то говорят, что f — гомоморфизм из A в B.

Пример

Пусть A = (N; +), B = (N₁₀; +₁₀), где N₁₀ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, а +₁₀ -сложение по модулю 10. Тогда f = a mod 10 — гомоморфизм из A в B.

Изоморфизм

Пусть A = (A; j ₁, …, j_m)и B = (В; ₁ , …, _m) — две алгебры одного типа, и f: А ® В — изоморфизм.

Пример

1. Пусть А = (N; +), B = {{ n | п = 2k, k Î N}; +) - четные числа. Тогда А изоморфна B по +.

2. А = (2 ^м; , , Ø), B = (2 ^м; , , Ø), f (X) = Ø X.

3. А = (R₊; ×), B = (R; +).

ТЕОРЕМА Если f: А ® В — изоморфизм, то f^{- -1}: А ® В тоже изоморфизм.

Полугруппы

Полугруппа — это алгебра с одной ассоциативной бинарной операцией:

а (b с) = (a b) с.

Пример

1. Множество слов А⁺ в алфавите А образует полугруппу относительно опера­ции конкатенации.

2. Всякое множество функций, замкнутое относительно суперпозиции, является полугруппой.

Если в полугруппе существует система образующих, состоящая из одного эле­мента, то такая полугруппа называется циклической.

Пример

(N; +} является циклической полугруппой.

Моноиды

Моноид — это полугруппа с единицей:

Пример

Множество слов А* в алфавите А вместе с пустым словом Lобразует моноид.

Группы

Группа — это моноид, в котором

" a $ а ^-1 а a ^-1 = а ^-1 a = е.

Элемент а ^-1называется обратным.

Пример

1. Множество невырожденных квадратных матриц порядка n образует группу относительно операции умножения матриц. Единицей группы является еди­ничная матрица. Обратным элементом является обратная матрица.

2. Множество подстановок на множестве М, то есть множество взаимно одно­значных функций f: М ® М является группой относительно операции су­перпозиции. Единицей группы является тождественная функция, а обратным элементом — обратная функция.

Коммутативная группа, то есть группа, в которой

а b = b a,

называется абелевой. В абелевых группах приняты следующие обозначения: групповая операция обозначается + или Å, обратный элемент к а обозначает­ся -а, единица группы обозначается 0 и называется нулем.

Пример

(Z; +) — множество целых чисел образует абелеву группу относительно сло­жения. Нулем группы является число 0. Обратным элементом является число с противоположным знаком: х ^-1 := -х.

Дата добавления: 2014-12-27