Понятия средней арифметической и стандартного отклонения

Тема 14. Анализ интервальных переменных

1. Понятия средней арифметической и стандартного отклонения.

2. Анализ нормального распределения.

Интервальные данные предоставляют наиболее полную информацию, и они могут быть подвержены любым арифметическим действиям: сложению, вычитанию, делению, умножению.

Здесь мы можем определять не только моду и коэффициент вариации, или медиану и дисперсию при ней, но также среднее арифметическое и дисперсию в виде отклонения от среднего арифметического.

Допустим, мы имеем данные о количестве детей в 10 семьях (табл. 14.1).

Таблица 14.1

Количество детей в семьях

Семьи

Число детей

Преобразуем для удобства табл. 14.1. в табл. 14.2.

Таблица 14.2

№ случая	Число детей, X i	Число семей, Y i	Всего детей, X i х Y i
Всего

Среднее арифметическое обозначается и вычисляется по формуле

где X _i – значение отдельного случая; Y _i – количество случаев X _i, N – количество всех случаев.

Формула звучит так: среднее арифметическое равно результату деления на количество всех случаев суммы произведений значения отдельного случая на количество таких случаев.

Определим среднее арифметическое, опираясь на табл. 14.2:

= (0х6+1х6+2х3+8х1): 16 = 20: 16 = 1,25.

Итак, средняя семья в нашем случае имеет 1,25 ребенка.

Теперь определим дисперсию, которая должна показать, насколько репрезентативно наше среднее арифметическое. Дисперсия здесь есть среднее отклонение от средней арифметической. Обозначим дисперсию при интервальной переменной буквой d. Тогда формула дисперсии следующая:

Читается так: дисперсия равна результату деления на количество всех случаев суммы произведений разностей между показателем отдельного случая и средней арифметической на количество таких случаев.

Определим дисперсию в нашем случае:

d = ((0 – 1,25)х6 + (1 – 1,25)х6 + (2 – 1,25)х3 + (8 – 1,25)х1): 16 = (–7,5 – 1,5 + 2,25 + 6,75): 16 = (– 9 + 9): 16 = 0.

У нас получилась нулевая дисперсия[26], которая реально ничего не означает. Ведь нулевой дисперсия может быть как при больших отклонениях реальной кривой от средней арифметической, так и при малых. Однако на самом деле мы все же имеем конкретные отклонения от среднеарифметической, в том числе и такое, как 8 детей у седьмой семьи, и ясно, что каким-то образом эти отклонения должны быть отражены.

Поэтому вместо просто дисперсии как среднего отклонения от средней арифметической величины используют понятие стандартного отклонения. Формула его такова:

Читается так: стандартное отклонение равно корню квадратному из результата деления на количество всех случаев – суммы произведений квадратов разностей между показателем отдельного случая и средней арифметической на количество таких случаев.

Определим по шагам стандартное отклонение для нашего примера. Сначала выясним, чему равна сумма произведений квадратов разностей между показателем каждого отдельного случая и средней арифметической на количество таких случаев:

(0 – 1,25)²х6 + (1 – 1,25)²х6 + (2 – 1,25)²х3 + (8 – 1,25)²х1 = 9,375 + 0,375 + 1,6875 + 45,5625 = 57.

Теперь делим полученное число на число всех случаев, т. е. 16, извлекаем из результата деления квадратный корень и получаем стандартное отклонение:

_____

s = √57: 16 = ±1,89.

Итак, стандартное отклонение равно ±1,89. Теперь можно сказать, что кривая реального изменения переменной в среднем колеблется[27] вокруг средней арифметической в пределах ±1,89. Поэтому верхняя граница стандартного отклонения пересечется с вертикальной осью (ординатой) в точке 3,14 (1,25 + 1,89), а нижняя граница в точке –0,64 (1,25 – 1,89).

См. на рис. 14.1 реальное распределение количества детей в семьях, среднюю арифметическую и границы стандартного отклонения.

Рис. 14.1.

Очевидно, что семья с 8 детьми ощутимо влияет на величину стандартного отклонения в сторону увеличения. Однако такая семья не является типичной в наше время. Посмотрим, каким будет среднее арифметическое и стандартное отклонение без этой семьи.

= (0х6+1х6+2х3): 15 = 12: 15 = 0,8.

Среднее арифметическое теперь равно 0,8.

Стандартное отклонение тоже изменится. Снова выполним соответствующие шаги:

(0 – 1,25)²х6 + (1 – 1,25)²х6 + (2 – 1,25)²х3 = 9,375 + 0,375 + 1,6875 = 11,4375.

Делим полученное число на 15, извлекаем из результата квадратный корень и получаем стандартное отклонение:

__________

s = √11,4375: 15 = ±0,87.

Стандартное отклонение теперь равно ±0,87. Можно сказать, что новая кривая реального изменения переменной «количество детей в семье» в среднем будет колебаться в границах: от 1,67 до –0,07 (0,8 + 0,87 и 0,8 – 0,87).

Ясно, что на новом графике, если бы его построили, границы стандартного отклонения ближе прижимались к средней арифметической. Потому что исключение нетипичной семьи с 8 детьми уменьшило разброс данных относительно средней арифметической.

Дата добавления: 2014-12-27