Ротор векторного поля и теорема Стокса

.

Дивергенция векторного поля и теорема Остроградского-Гаусса

Вектор площадки направлен перпендикулярно площадке и равен по модулю ее площади. Этот вектор направлен по внешней нормали , если площадка является элементом замкнутой поверхности, в противном случае считается, что этот вектор связан с направлением обхода площадки правилом правого винта.

Поток DF векторного поля через площадку в точке равен

Поток F векторного поля через поверхность S равен сумме потоков этого поля через все площадки , на которые разбита поверхность S. При сумма превращается в интеграл по поверхности S:

, (3.1)

где ‑ средняя точка на площадке .

В соответствии с определением (3.1) можно определить поток F _S векторного поля через замкнутую поверхность S:

. (3.2)

Используя понятие стягивающейся к точке замкнутой поверхности S, ограничивающий некий объем , можно ввести определения, независящие от выбора системы координат, следующих величин:

; (3.3)

; (3.4)

. (3.5)

Используя в ДСК в качестве стягивающейся к точке замкнутой поверхности S удобно выбрать поверхность параллелепипеда, длина ребер которого , в соответствии с чем и , из данных выше определений легко получить следующие выражения:

; (см. (2.2)

; (3.6)

= . (3.7)

С другой стороны поток F_S векторного поля через замкнутую поверхность S может быть записан как сумма потоков через поверхности дифференциально малых объемов , на которые можно разбить замкнутый объем V, ограниченный поверхностью S: . Чтобы последняя сумма была интегральной (и для нее существовал предел при m ®µ), необходимо, чтобы потоки были пропорциональны соответствующим объемам .

Как следует из определения (3.4), дивергенция векторного поля в точке ‑ это скаляр, равный: , где ‑ средняя точка в объеме . Отсюда следует, что в пределе при сумма по m становится интегралом по объему V: . Представляя этот поток в виде интеграла по поверхности S, ограничивающей объем V, мы приходим к теореме Остроградского-Гаусса:

. (3.8)

Уравнение непрерывности – дифференциальное уравнение в частных производных, связывающее скорость изменения плотности r жидкости в каждой точке объема и дивергенцию произведения плотности и скорости жидкости в этой же точке: . Уравнение непрерывности выводится из закона сохранения массы с использованием теоремы Гаусса.

Закон сохранения электрического заряда в дифференциальной форме ‑ дифференциальное уравнение в частных производных, связывающее скорость изменения плотности электрического заряда r в каждой точке и дивергенцию плотности электрического тока в этой же точке: . Выводится из закона сохранения заряда с использованием теоремы Гаусса.

Уравнение теплопроводности –дифференциальное уравнение для температуры, которое выводится с использованием теоремы Гаусса из закона сохранения тепловой энергии в процессах теплопередачи. В однородной среде УТ имеет вид:

,

где a – коэффициент температуропроводности.

Задачи

3.1. Найти:

3.1.1. ;

Указание. Из условия задачи следует, что задано векторное поле с компонентами:

Вычислим частные производные:

Выражение для дивергенции имеет вид:

.

Ответ: .

3.1.2. ;

3.1.3. ;

3.1.4. ;

3.1.5. ;

Указание. Из условия задачи следует, что векторное поле задано радиус-вектором с компонентами x, y, z.

Частные производные:

Значение дивергенции .

Ответ: .

3.1.6. ;

Указание. Из условия задачи следует, что векторное поле задано вектором с компонентами x, y.

Частные производные:

Значение дивергенции .

Ответ: .

3.1.7. ;

3.1.8. ;

3.1.9. ;

3.1.10. ;

3.1.11. ,где ‑ постоянный вектор;

Указание. Векторное поле задано вектором с компонентами:

Частные производные:

Значение дивергенции .

Ответ: .

3.1.12. , где и – постоянные вектора;

Указание. По условию задачи векторное поле задано вектором .

Используя правило раскрытия двойного векторного произведения (1.20), получим:

.

Соответствующие компоненты этого вектора равны:

Частные производные:

Значение дивергенции

.

Ответ: .

3.1.13. , где и – постоянные вектора;

3.1.14. ;

3.1.15. ;

3.1.16. , где – постоянный вектор;

3.1.17. , где – постоянный вектор;

3.1.18. , где и – постоянные вектора;

3.1.19. ;

3.1.20. ;

3.1.21. ;

3.1.22. , ;

3.1.23. , где ‑ постоянный вектор.

3.2. Найти поток поля через поверхность , где поверхность имеет вид:

3.2.1. ‑ единичный квадрат, расположенный в плоскости (стороны квадрата параллельны осям и ), положительная нормаль .

Указание. Вектор дифференциально малой площадки по условию задачи . В соответствии с этим выражение для потока поля через поверхность принимает вид:

Ответ: .

3.2.2. ‑ окружность радиуса с центром в начале координат, расположенная в плоскости , положительная нормаль .

3.2.3. Найти поток поля через поверхность сферы радиуса R с центром в начале координат.

Указание. Для нахождения потока поля через поверхность сферы радиуса R воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса (3.8): . Для этого найдем вначале выражение для :

= .

Затем вычислим интеграл по объему сферы: .

Ответ: .

3.3. Проверить теорему Остроградского-Гаусса для единичного кубика, ребра которого параллельны осям x, y, z, и поля , где :

3.3.1. ;

Указание. Задание проверить теорему Остроградского-Гаусса означает, что необходимо вычислить левую и правую части равенства

,

являющегося математическим выражением теоремы, и сравнить полученные выражения на предмет их равенства.

Вычислим вначале интеграл по объему:

=

Затем .

Интеграл по замкнутой поверхности единичного кубика представим в виде суммы 6 интегралов по его граням. Для этого обозначим грани следующим образом: и ‑ грани лежащие в координатных плоскостях x=1 и x =0, и ‑ грани лежащие в координатных плоскостях y=1 и y=0, и ‑ грани лежащие в координатных плоскостях z=1 и z=0. В этом случае вектора дифференциально малых площадок соответственно равны: ; и .

Вследствие этого:

=

= =4.

Ответ: Поскольку 4 и , следует, что теорема Остроградского-Гаусса выполняется.

3.3.2. .

3.4. Проверить теорему Остроградского-Гаусса для единичного кубика, ребра которого параллельны осям x, y, z, и поля , где :

3.4.1. ;

3.4.2. ;

3.4.3. ;

3.4.4. .

3.5. Проверить теорему Остроградского-Гаусса для сферы радиуса с центром в начале координат и поля , где :

3.5.1. ;

3.5.2. ;

3.5.3. ;

3.5.4. ;

3.5.5. .

3.6. Проверить теорему Остроградского-Гаусса для цилиндра с радиусом R и высотой h (ось цилиндра совпадает с осью Oz, нижнее основание лежит в плоскости xOy), и поля :

3.6.1. ;

3.6.2. ;

3.6.3. ;

3.6.4. ;

3.6.5.

3.7. Проверить теорему Остроградского-Гаусса для цилиндра с радиусом R и высотой h (ось цилиндра совпадает с осью Oz, нижнее основание лежит в плоскости xOy), и поля :

3.7.1. ;

3.7.2. ;

3.7.3. ;

3.7.4. ;

3.7.5. .

3.8. Проверить теорему Остроградского-Гаусса для сферы радиуса R с центром в начале координат и поля :

3.8.1. ;

3.8.2. .

3.9. Проверить теорему Остроградского-Гаусса для цилиндра с радиусом R и высотой h (ось цилиндра совпадает с осью Oz, нижнее основание лежит в плоскости xOy), и поля :

3.9.1. ;

3.9.2. .

3.10. Проверить теорему Остроградского-Гаусса для цилиндра с радиусом R и высотой h (ось цилиндра совпадает с осью Oz, нижнее основание лежит в плоскости xOy), и поля :

3.10.1. ;

3.10.2. .

Циркуляция A_L векторного поля по замкнутому контуру L ‑ скалярная величина, равная сумме скалярных произведений векторов участков , на которые разбит конур L, и векторов в средних точках этих участков: . При сумма переходит в интеграл по контуру L:

. (4.1)

Циркуляция меняет знак при изменении направления обхода контура. Циркуляцию по контуру L можно представить в виде суммы циркуляций по границам L_k малых площадок , на которые разбита поверхность S, натянутая на контур L, причем направление векторов согласуется правилом правого винта с направлением обхода контуров L и L_k, для которых вычисляются циркуляции: . Чтобы записанная сумма была интегральной, необходимо, чтобы суммируемые величины были пропорциональны . Это возможно, если существует векторное поле, называемое ротором. поля такое, что . При циркуляция записывается в виде интеграла по поверхности S: . Таким образом, циркуляция может быть записана как в виде интеграла по контуру, так и в виде потока ротора векторного поля через поверхность, натянутую на контур. Этот результат называется теоремой Стокса:

. (4.2)

Положительное направление нормали для поверхности должно быть связано с направлением обхода контура по правилу правого винта.

Напомним, что ротор векторного поля выражается через частные производные компонент поля соотношением (3.7):

. (4.3)

Определитель, стоящий в правой части, надо формально разложить по первой строке, что дает выражение для ротора в виде линейной комбинации единичных ортов (3.7):

. (4.4)

Формула Грина выводится из теоремы Стокса для случая двумерного поля, заданного на плоскости (x, y): и замкнутого контура L, заданного на плоскости (x, y). Тогда: , и . Тогда из теоремы Стокса следует формула Грина:

. (4.6)

Задачи

4.1. Найти:

4.1.1. ;

Указание. Из условия задачи следует, что задано векторное поле с компонентами:

Введем вектор и вычислим его компоненты:

Ответ: Выражение для ротора имеет вид:

= .

4.1.2. ;

4.1.3. ;

4.1.4. ;

4.1.5. ;

Указание. Из условия задачи следует, что задано векторное поле с компонентами:

Введем вектор и вычислим его компоненты:

Ответ: Выражение для ротора имеет вид: , где ‑ нулевой вектор.

4.1.6. ;

4.1.7. ;

4.1.8. ;

4.1.9. , где ‑ постоянный вектор;

4.1.10. , где и ‑ постоянные вектора;

4.1.11. , где и ‑ постоянные вектора;

4.1.12. ;

4.1.13. ;

4.1.14. ;

4.1.15. ;

4.1.15. ;

4.1.16. ;

4.1.17. ;

4.1.18. ;

4.1.19. ;

4.1.20. ;

4.1.21.

4.2. Вычислить , , , , , где , и c равны:

4.2.1. , , ;

4.2.2. , , ;

4.2.3. , , ;

4.2.4. , , ;

4.2.5. , , .

4.3. Вычислить выражение, где :

4.3.1. ;

4.3.2. ;

4.3.3. ;

4.3.4. ;

4.3.5. ;

4.3.6. ;

4.3.7. .

4.4. Найти циркуляцию поля по окружности единичного радиуса с центром в начале координат, лежащей в плоскости
(y, z).

4.5. Проверить теорему Стокса для единичных квадратов в плоскостях , , и поля :

4.5.1. ;

Указание. Задание проверить теорему Стокса означает, что следует вычислить левую и правую части равенства, выражающего в математической форме эту теорему: .

Для этого выберем один из предложенных вариантов: единичный квадрат расположен в плоскости , а векторное поле задано .

Интеграл по замкнутому контуру представим в виде 4 интегралов по контурам (координатная линия, определяемая равенствами x=0 и z=0), (координатная линия, определяемая равенствами x=0 и y=1), (координатная линия, определяемая равенствами x=0 и z =1) и (координатная линия, определяемая равенствами x=0 и y =0). В этом случае соответствующие элементы длины вдоль контуров раны: , а .

С учетом сделанных определений

=

= =0

Итак, .

Приступим теперь к вычислению правой части равенства .

Для единичного квадрата, расположенного в плоскости , . Следовательно, .

Ответ: Поскольку и =0 следует, что теорема Стокса выполняется.

4.5.2. .

4.6. Проверить теорему Стокса для граней единичного куба и поля :

4.6.1. ;

4.6.2. ;

4.6.3. ;

4.6.4. .

4.7. Проверить теорему Стокса для окружности радиуса с центром в точке , лежащей в плоскости , и поля , где ‑ постоянный вектор.

Дата добавления: 2014-12-27