Пример выполнения расчетно-графической работы

Рассмотрим расчёт вероятностных эксплуатационных характеристик режущего инструмента и проверку соответствия статистического и теоретического распределения периода стойкости по критерию Пирсона (χ ²), используя для этого значения периода стойкости токарных сборных резцов Н×В=25×25 мм, оснащённых твёрдым сплавом Т5К10.

Расчёт выполняют в следующей последовательности.

1 Располагают данные о периоде стойкости резцов в вариационный ряд (таблица Б.1).

Таблица Б.1 – Вариационный ряд периода стойкости

Номер испыта-ний i	Период стой-кости , мин	Номер испыта-ний i	Период стой-кости , мин	Номер испыта-ний i	Период стой-кости , мин	Номер испыта-ний i	Период стой-кости , мин

2 Вариационный ряд разбивают на интервалы. Число интервалов рассчитывают по формуле

, (Б.1)

где n = 34 – количество (объём) исходных данных.

3 Рассчитывают среднее значение периода стойкости

, мин (Б.2)

4 Рассчитывают среднее квадратичное отклонение периода стойкости

, мин (Б.3)

5 Рассчитывают коэффициента вариации периода стойкости

(Б.4)

6 Исходя из значений коэффициента вариации, принимаем гипотезу о нормальном законе распределения периода стойкости ().

7 Для проверки гипотезы о нормальном законе распределения необходимо рассчитать вероятностные эксплуатационные характеристики (показатели надёжности) резцов: плотность распределения , интенсивность отказов и вероятность безотказной работы , которую затем используют для расчёта критерия χ². Значения показателей надёжности рассчитывают для интервалов времени от до :

, (Б.5)

где - величина интервала.

, (Б.6)

где - максимальное и минимальное значение периода стойкости из вариационного ряда;

количество интервалов.

В нашем случае

.

Для удобства расчётов принимаем .

Данные расчётов удобно свести в таблицу Б.2, которая содержит все необходимые показатели для проверки по критерию χ².

8 Рассчитывают число отказов за интервал , используя для этого вариационный ряд.

9 Рассчитывают статистические значения и (формулы для расчёта приведены в таблице.2).

10 Для каждого интервала рассчитывают теоретические значения по формуле

, (Б.7)

где - среднее значения периода стойкости для каждого интервала.

Результаты расчётов заносят в таблицу Б.2.

11 Для каждого интервала рассчитывают теоретическое значение по формуле

, (Б.8)

где - функция Лапласа. Значения функции Лапласа приведены в таблице 3.5;

- значение периода стойкости в начале каждого интервала.

Результаты расчётов заносят в таблицу Б.2.

12 Для каждого интервала рассчитывают теоретическое значение по формуле

или (Б.9)

Результаты расчётов заносят в таблицу Б.2.

13 Расчёт χ² выполняют по формулам, приведенным в столбцах 13…17 таблицы Б.2. Сумма значений строк столбца 17 представляет собой значение χ².

14 Расчётное значение χ² сравнивают с табличным χ²_табл. Расчётное значение χ² не должно быть больше табличного (χ²≤ χ²_табл). Табличные значения χ² выбирают из таблицы 3.7 при числе степеней свободы , которое рассчитывают по формуле

, (Б.10)

где - число интервалов;

- число параметров закона распределения.

В нашем случае

Табличное значение χ²_табл = 7,81 при уровне значимости .

Таким образом, гипотеза о соответствии статистического и теоретического распределения нормальному закону выбрана правильно (1,94<7,81).

15 По результатам расчётов строят графики и для статистического и теоретического распределений (рис. Б.1…Б.3).

16 При проверке соответствия статистического и теоретического распределения по критерию Колмогорова находят максимальное отклонение вероятности безотказной работы для статистического и теоретического распределения

. (Б.11)

17 Рассчитывают значение критерия Колмогорова

(Б.12)

По таблице 3.8 для каждого полученного значения находим . Это значит, что статистическое и теоретическое распределение согласуются с вероятностью .

1 – статистическое распределение; 2 – теоретическое распределение

Рисунок Б.1 – Плотность распределения периода стойкости

1 – статическое распределение; 2 – теоретическое распределение

Рисунок Б.2 – Интенсивность отказов

1 – статическое распределение; 2 – теоретическое распределение

Рисунок Б.3 – Вероятность безотказной работы

Таблица Б.2 – Вероятностные эксплуатационные характеристики режущего инструмента.

Проверка статистического и теоретического распределения по критерию Пирсона (χ²)

Номер интервала j	Граница интервала Δτ =τj+1-τj	Число отказов за интервал Δτ	Число работоспособных инструментов в момент времени τj	Среднее число работоспособных инструментов	Плотность распределения f(τ)	Интенсивность отказов λ(τ)	Вероятность безотказной работы Р(τ)	К проверке соответствия статистического и теоретического распределения по критерию Пирсона
τj	τj+1	m(τ)	n(τ)	(nj+nj+1)/2	Статическая m(τ)/nΔτ	Теоретическая	2 m(τ)/ (nj+nj+1)Δτ	Теоретическая	n(τ)/n	Теоретическая	ΔP(τ)=P(τj)-P(τj+1)	nΔP(τ)	m(τ)- nΔP(τ)	[m(τ)- nΔP(τ)]^2	[m(τ)- nΔP(τ)]^2/ [nΔP(τ)]
	10,00	12,85			32,5	0,0311	0,0236	0,0326	0,0247	1,0000	1,0000	0,0917	-3,1178	-0,1178	0,0139	0,0044
	12,85	15,70			27,0	0,0830	0,0573	0,1040	0,0682	0,9118	0,9083	0,1624	5,5216	2,4784	6,1425	1,1124
	15,70	18,55			19,5	0,0727	0,0892	0,1267	0,1420	0,6765	0,7459	0,2487	8,4558	-1,4558	2,1194	0,2506
	18,55	21,40			12,5	0,0727	0,0788	0,1967	0,2424	0,4706	0,4972	0,2476	8,4184	-1,4181	2,0118	0,2390
	21,40	24,25			6,5	0,0519	0,0565	0,2715	0,3618	0,2647	0,2496	0,1602	5,4468	-0,4468	0,1996	0,0366
	24,25	27,10			2,0	0,0415	0,0230	0,7059	0,4937	0,1176	0,0894	0,0894	3,0396	0,9604	0,9224	0,3034
Объём данных n=34	Коэффициент вариации Vτ=0,23	Число параметров закона распределения r=2	Критерий χ^2=	Σ= 1.9434
Среднее значение Т=18,47	Среднее квадратичное отклонение στ=4,24	Параметры закона: Т=18,47; στ=4,24	f=j-r-1=3
Теоретическое распределение - нормальное

Навчальне посібник

Казакова Тетяна Валентинівна, доц.

Васильева Людмила Володимирівна, доц.

Ковальов Денис Геннадійович, ас.

Дата добавления: 2014-12-27