Метод Эйлера. с начальными условиями x0, y0 = y(x0)

Пусть дано уравнение

y¢=f(x,y), (6.5.2-1)

с начальными условиями x₀, y₀ = y(x₀). Требуется найти решение данного уравнения на отрезке [a;b] (обычно x₀=а) в n точках.

На рис. 6.5.2-1 график искомой функции y(x) проходит через точку А(x₀,y₀), заданную начальными условиями.

Рис. 6.5.2-1

Разобьем отрезок на n равных частей и получим последовательность x₀,x₁,…, x_n, где x_i=x₀+i∙h (i=0, 1, …,n), а h = (b-a)/n – шаг интегрирования.

Найдем y_i = y(x_i). Для этого проинтегрируем производную, заданную (6.5.2-1) на интервале [x₀;x₁], по формуле Ньютона – Лейбница:

Отсюда значение искомой функции в точке x₁

Примем допущение, что на интервале [x₀;x₁]производная исходной функции постоянна и равна своему значению в точке А(x₀,y₀). Тогда по формуле прямоугольников

Полученное выражение имеет наглядную геометрическую интерпретацию (рис. 6.5.2-1). Поскольку значение производной f’(x₀,y₀) = tga, то в прямоугольном треугольнике ABD Dy₀=h×tga, и, следовательно, y₁ = y₀+Dy₀ = y₀+h×f¢(x₀,y₀). Таким образом, y₁ может быть найдено геометрически в результате замены искомой кривой y(x) касательной, проведенной в точке А.

Продолжая этот процесс и принимая подынтегральную функцию f(x) на соответствующем участке [x_i,x_i+1] постоянной и равной ее значению в начале отрезка, получим решение дифференциального уравнения в виде значений искомой функции y(x) на отрезке [a;b]. График решения представляет собой ломаную линию, которая называется ломаной Эйлера. При этом общая формула для определения очередного значения функции имеет вид:

(6.5.2-2)

Метод Эйлера является сравнительно грубым и применяется на практике в основном для проведения ориентировочных расчетов.

Погрешность метода Эйлера связана с величиной шага интегрирования отношением e₁ =C₁h², где C₁ – произвольная постоянная.

Пример 6.5.2-1. Решить методом Эйлера ОДУ y¢= 2x/y с начальными условиями x₀ = 1 и y₀ = 1 на отрезке [1;1.4] с шагом h = 0.2.

Дата добавления: 2014-12-27