КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Знакопеременные ряды
Ряд (1) называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные члены. Теорема (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда). Пусть задан знакопеременный ряд a 1 + a 2 + … + an + …. (13) Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда | a 1| + | a 2| + … + | an | +…, (14) сходится, то сходится и данный ряд (13). Ряд (13) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (14), составленный из абсолютных величин членов ряда (13). Если же знакопеременный ряд (13) сходится, а ряд (14) расходится, то ряд (13) называется условно или неабсолютно сходящимся. Ряд вида a 1 – a 2 + a 3 – a 4 +… + an + …., (15) где , называется знакочередующимся. Теорема (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд (15) сходится, если абсолютные величины его членов не возрастают, а общий член стремится к нулю, т.е. если выполняются следующие два условия: 1) (16) 2) (17) Замечание 1. При решении задач на исследование сходимости ряда полезно знать особенности поведения следующих рядов: 1. Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии : сходится при и расходится при , q – знаменатель прогрессии; 2. Обобщенный гармонический ряд : сходится при и расходится при . В частном случае () получаем гармонический ряд , который расходится. Замечание 2. Если ряд (15) удовлетворяет условиям признака Лейбница, то ошибка, совершаемая при замене S на Sn, не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов. Это свойство используется для приближенных вычислений. Задание 1. Исследовать на сходимость ряд . Решение. Так как (второй замечательный предел), то в силу следствия из необходимого признака сходимости ряда получаем, что данный ряд расходится.
Задание 2. Исследовать на сходимость ряд . Решение. Выясним поведение данного ряда с помощью признака сравнения. Для этого сравним его с рядом (это – обобщенный гармонический ряд, который сходится, так как ). Имеем: и, следовательно, из сходимости ряда по признаку сравнения следует сходимость и данного ряда. Задание 3. Исследовать на сходимость ряд . Решение. Выясним поведение данного ряда с помощью предельного признака сравнения. Сравним данный ряд с рядом (это - гармонический ряд, который расходится). Имеем: и, следовательно, ряды и данный ведут себя одинаково. Таким образом, по предельному признаку сравнения исследуемый ряд расходится. Задание 4. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Применим к данному ряду признак Даламбера. Имеем: и Тогда . Следовательно, по признаку Даламбера данный ряд сходится. Задание 5. Исследовать на сходимость ряд . Решение. Применим к данному ряду признак Коши. Имеем: , и, следовательно, в силу признака Коши данный ряд сходится. Задание 6. Исследовать на сходимость ряд . Решение. Применим к данному ряду интегральный признак Коши. Имеем: , что означает, что члены данного ряда убывают. В качестве функции f (x)возьмем функцию , . Эта функция положительная, непрерывная и убывает в области определения, причем . Рассмотрим несобственный интеграл Следовательно, несобственный интеграл расходится. Тогда в силу интегрального признака Коши расходится и данный ряд. Задание 7. Исследовать на сходимость ряд . Решение. Данный ряд является знакочередующимся. Ряд, составленный из абсолютных величин эквивалентен ряду . Последний ряд расходится, следовательно, расходится и ряд, составленный из абсолютных величин исходного ряда. Таким образом, если исходный ряд и сходится, то только условно. Для исследования исходного ряда на условную сходимость применим к нему признак Лейбница. Имеем:
1) и очевидно, что 2) Следовательно, условия признака Лейбница выполнены. Таким образом, исходный ряд сходится условно.
Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 782; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |