Ряды Тейлора

Рядом Тейлора для данной функции f (x) в окрестности точки x ₀ называется степенной ряд, коэффициенты которого определяются формулой:

, n= 0, 1, …

Таким образом, ряд Тейлора – это ряд вида:

(19)

В частном случае, если x ₀=0, ряд Тейлора (19) называют рядом Маклорена.

Теорема (критерий представимости функции рядом Тейлора). Для того, чтобы функцию f (x) можно было представить в окрестности точки x ₀ рядомТейлора:

, (20)

необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора

стремился к нулю при , т.е. .

Замечание. При решении многих задач рекомендуется пользоваться следующими разложениями:

1) ; (21)

2) ; (22)

3) ; (23)

4) ; (24)

5) ; (25)

6) (26)

Задание 1. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.

Решение. Воспользуемся разложением (23).

Имеем

.

Следовательно,

Вычислим несколько последовательных первых членов полученного знакочередующегося ряда (с одним лишним знаком после запятой):

Согласно свойству знакочередующегося сходящегося ряда, ошибка вычислений, совершаемая при отбрасывании членов ряда, не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов. Следовательно, для вычисления данного интеграла с точностью 0,001 достаточно взять сумму трех первых членов ряда. Таким образом, получаем

.

Дата добавления: 2014-12-27