Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Подпространства Крылова





Два выбора подпространств

В разделе 2.2.2 были рассмотрены методы наискорейшего спуска, в котором подпространства K и L были связаны соотношением K=L, и наискорейшего уменьшения невязки который основан на соотношении L=AK. Сами подпространства являлись одномерными, в качестве базиса K выступал вектор невязки. В этих случаях задача проектирования эквивалентна задаче минимизации функционалов. Как оказывается, подобные утверждения справедливы и в гораздо более общих случаях, которые имеют важное значение при построении более сложных и эффективных методов.

Так если матрица A симметрична и положительно определенна, то задача проектирования решения СЛАУ (1.1) на любое подпространство K ортогонально к нему самому (т.е. ортогонально к пространству L=K) является эквивалентной задаче минимизации ||xx*||A2 на пространстве K. Для произвольной невырожденной матрицы A задача проектирования решения СЛАУ (1.1) на любое подпространство K ортогонально подпространству L=AK, эквивалентна задаче минимизации ||rx||22 на подпространстве K.

При построении и реализации проекционных методов важную роль играют так называемые подпространства Крылова, часто выбираемые в качестве K. Подпространством Крылова размерности m, порожденным вектором n и матрицей A называется линейное пространство

Km(n, A)=span{n, An, A2n,…,Am–1n}. (2.21)

В качестве вектора n обычно выбирается невязка начального приближения r0; тогда выбор подпространства L и способ построения базисов подпространств полностью определяет вычислительную схему метода.

К идее использования подпространств Крылова можно прийти, например, следующим образом. При построении релаксационных методов использовалось представление матрицы A в виде A=DEF. Было также показано, что методы Якоби-Зейделя являются частными случаями класса методов, основанного на расщеплении A в виде разности (2.9) двух матриц K и R. Тогда исходная система (1.1) может быть записана в виде

Kx=b+Rx=b+(K–A)x,

что позволяет построить итерационный процесс

Kxk+1=Kxk+(b–Axk),

или, что то же самое,

xk+1=xk+K–1rk. (2.22)

Если выбрать K=I и R=IA, тогда процесс (2.22) будет сведен к виду

xk+1=xk+rk, (2.23)

откуда следует

xk=x0+r0+r1+…+rk–1. (2.24)

Умножив обе части (2.23) слева на (–A) и прибавив к ним b, получится

b–Axk+1=b–Axk–Ark=rk–Ark,

что позволяет найти выражение для невязки на k-ой итерации через невязку начального приближения:

rk=(I–A)rk–1=(I–A) kr0. (2.25)

После подстановки (2.25) в (2.24) получается

xk=x0+ r0,

т.е. dk Î span{r0, Ar0, …,Ak-1r0}=Kk(r0, A). Из (2.25) следует, что в методах, использующих подпространства Крылова, невязка на k-ой итерации выражается через начальную невязку некоторым матричным полиномом.







Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 1119; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.002 сек.