Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Биортогонализация Ланцоша





Алгоритм ортогонализации Арнольди, рассмотренный ранее, для построения каждого нового вектора nk требует нахождения (k–1) скалярных произведений и столько же операций линейного комбинирования. Однако, как оказывается, при отказе от требования ортогональности базиса в пользу некоторого более общего условия можно построить процедуру меньшей сложности.

Системы векторов и называются биортогональными, если скалярное произведение (xi,yi) обращается в ноль при i¹j. В случае xiºyi условие биортогональности сводится к обычному условию ортогональности. Пусть векторы n1 и w1 таковы, что (n1,w1)¹0 и пусть системы векторов и определяются соотношениями:

ni+1=Ani–aini–bini–1, n0º0; (2.33)
wi+1=ATwi–aiwi–biwi–1, w0º0; (2.34)
ai=(Ani, wi)/)(ni,wi); (2.35)
bi=(ni, wi)/(ni–1, wi–1), b1º0. (2.36)

Тогда

Ø системы и являются биортогональными;

Ø каждая система и является линейно независимой и образует базис в Km(n1, A) и Km(w1,AT) соответственно.

Процедура построения векторов nи w согласно формулам (2.33)–(2.36) называется биортогонализацией Ланцоша.

Очевидно, что (2.33) является частным случаем (2.29), где из всей суммы оставлены только два последних слагаемых; точно так же (2.34) является частным случаем (2.29), записанной для матрицы AT и вектора w1. При этом коэффициенты ортогонализации в (2.33) и (2.34) одинаковы. Из сказанного следует, что можно записать аналог матричной формулы (2.31)

WmTAVm=Tm, (2.37)

где Tm – симметричная трехдиагональная матрица, элементы которой определяются соотношениями

[Tm]ii=ai(ni, wi); (2.38)
[Tm]i+1,i=[Tm]i,i+1=bi(ni, wi), (2.39)

выводимыми из (2.39) – (2.40).

Основным недостатком биортогонализация Ланцоша является возможность возникновения ситуации, когда (ni, wi)=0; при этом продолжение процесса становится невозможным из-за неопределенности коэффициента bi+1.





Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 402; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.002 сек.