Метод бисопряженных градиентов

Ранее была описана биортогонализация Ланцоша, которая в отличие от ортогонализации Арнольди, использует для построения базиса экономичные трехчленные формулы. Выбрав в качестве пространства K пространство Крылова K_m (r ⁽⁰⁾, A), а в качестве L_m (, A ^T), где вектор удовлетворяет условию (r ⁽⁰⁾, )¹0, строят метод бисопряженных градиентов BiCG.

Далее приведен алгоритм предобусловленного метода бисопряженных градиентов.

Алгоритм метода BiCG

Если необходимо построить матрицу предобусловливателя M

Выбрать начальное приближение x⁽⁰⁾

r⁽⁰⁾ = b – A x⁽⁰⁾

Выбрать вектор , удовлетворяющий условию (r⁽⁰⁾, ) ¹0 (например, = r⁽⁰⁾)

Для i = 1, 2, … до сходимости или до N_it^max

Найти z^{( i –1)} из системы M z^{( i –1)} = r^{( i –1)}

Найти из системы M ^T =

r _{i – 1}= (z^{( i –1)}, )

Если r _{i –1}= 0

то метод не может решить данную систему

Если i = 1

Иначе

b _{i –1} = r _{i –1}/ r _{i –2}

q⁽ⁱ⁾ = A p⁽ⁱ⁾

= A ^T

a _i = r _{i –1} / (, q⁽ⁱ⁾)

x⁽ⁱ⁾ = x^{( i –1)} + a _i p^{( i )}

r^{( i )} = r^{( i –1)} – a _i q⁽ⁱ⁾

= – a _i

Если ||r^{( i )}||₂/ ||r⁽⁰⁾||₂£ tol

то КОНЕЦ(x^{( i )} – полученное решение)

увеличить i

Первые пять параметров метода BiCG, которые необходимо задать, совпадают с аналогичными параметрами метода GMRES. Шестым параметром является тип предобусловливания (0, 10-12 или 20-22). Седьмым является точность обнуления (t).

Пример использования метода BiCG в системе TALGAT:

- действительный случай: SET "solve" BICG_r real_m right_r 0. 1.e-8 250 10 1.e-4;

- комплексный случай: SET "solve" BICG complex_m right_c 0. 1.e-8 250 10 1.e-4.

Дата добавления: 2014-12-27