Метод квази-минимальных невязок

Разработка еще одного итерационного метода была направлена на устранение, упомянутой в 2.4.3, проблемы метода BiCG, а именно нестабильной сходимости. Таким методом являлся метод квази-минимальных невязок (QMR).

Далее приведен алгоритм метода QMR.

Алгоритм метода QMR

Если необходимо построить матрицу предобусловливателя M

Выбрать начальное приближение x⁽⁰⁾

r⁽⁰⁾ = b – A x⁽⁰⁾

= r⁽⁰⁾

Найти y из системы M₁ y =

r₁ = ||y||₂

z=

= ||z||₂

g₀ = 1; h₀ = – 1

Для i = 1, 2, … до сходимости или до N_it^max

Если r _i = 0 или x _i = 0

то метод не может решить данную систему

v⁽ⁱ⁾= / r _i; y = y / r _i

w⁽ⁱ⁾= /x _i; z = z / x _i

d _i = (z, y)

Если d _i = 0

то метод не может решить данную систему

Найти из системы M₂= y

Найти из системы = z

Если i = 1

p⁽¹⁾ = ; q⁽¹⁾ =

Иначе

p⁽ⁱ⁾ = – (x _i d _i / c _{i –1}) p^{(i –1)}

q⁽ⁱ⁾ = – (r _i d _i / c _{i –1}) q^{(i –1)}

= A p^{( i )}

c _i = (q⁽ⁱ⁾, )

Если c _i = 0

то метод не может решить данную систему

b _i = c _i / d _i

Если b _i = 0

то метод не может решить данную систему

= – b _i

Найти y из системы M₁y =

r _{i+ 1} = ||y||₂

= A ^T q⁽ⁱ⁾ – b _i

Найти z из системы z =

x _{i+ 1} = ||z||₂

q _i = r _{i+ 1} / (g _i |b _i |)

= 1 /

Если = 0

то метод не может решить данную систему

= – /

Если i = 1

d⁽¹⁾ = p⁽¹⁾; s⁽¹⁾ =

Иначе

= p⁽ⁱ⁾ +

=

x⁽ⁱ⁾ =x^{( i –1)} + d⁽ⁱ⁾

r⁽ⁱ⁾ = r^{(i –1)} – s⁽ⁱ⁾

Если ||r||₂/ ||r⁽⁰⁾||₂£ tol

то КОНЕЦ(x^{( i )} – полученное решение)

увеличить i

Метод характеризуется зачастую более гладкой сходимостью.

Параметры метода совпадают с параметрами методов BiCG и BiCGStab.

Пример использования метода QMR в системе TALGAT:

- действительный случай: SET "solve" QMR_r real_m right_r 0. 1.e-8 150 20 5.e-4;

- комплексный случай: SET "solve" QMR complex_m right_c 0. 1.e-8 150 20 5.e-4.

Дата добавления: 2014-12-27