Прямая в пространстве

Определение. Уравнение прямой, имеющий вид,

,

называют каноническими уравнениями прямой.

Оно может быть получено, как прямая, проходящая через две заданные точки и . Разновидность канонического уравнения прямой

,

где m, n, p – координаты направляющего вектора прямой.

Параметрические уравнения прямой получаются, если каждое из отношений последнего равенства приравнять к параметру t:

Прямая в пространстве может быть задана как пересечение двух плоскостей: и . Тогда уравнение прямой будет

.

Пусть прямые и заданы каноническими уравнениями

Угол между прямыми в пространстве определяются по формуле

Условие параллельности двух прямых имеет вид

Условие перпендикулярности двух прямых записывается в виде

Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости записывается в виде

Пример 1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(4;3; 2) и параллельную вектору =(-1; 1; 1).

Решение. Используя каноническое уравнение прямой, получим

Пример 2. Написать уравнение прямой, проходящей через точки

М₁(-1; 2; 3) и М₂(2; 6; -2), и найти ее направляющие косинусы.

Решение. Используем каноническое уравнение прямой, получаем

При этом направляющий вектор будет =(3; 4; -5). Направляющие косинусы находятся по формулам

Откуда

Дата добавления: 2014-12-29