Основные теоремы о пределах. Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Теорема 2. Если – сходящаяся последовательность, С = const, то

Теорема 3. Если и – сходящиеся последовательности, то

.

Теорема 4. Если и – сходящиеся последовательности, то

.

Теорема 5. Если и – сходящиеся последовательности и при этом то

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся приемы вычисления пределов последовательностей.

Пример 1. .

Решение. При подстановке предельного значения получаем выражение, символически обозначаемое , являющееся неопределенностью.

Степень многочлена в знаменателе равна четырем. Поэтому вынесем из числителя и знаменателя и сократим дробь

.

Применяя основные теоремы о пределах и учитывая, что предел каждой из дробей , в числителе которой константа, а в знаменателе , равен нулю, получим

Пример 2.

Решение. Напомним, что символом (эн-факториал) обозначается произведение всех натуральных чисел от 1 до п: Например, Кроме того, полагается, что

Распишем факториалы:

Пример 3. .

Решение. При подстановке предельного значения получаем выражение, символически обозначаемое , являющееся неопределенностью. Выполним тождественное преобразование выражения данного примера и используем соответствующие теоремы о сходящихся последовательностях:

Замечание. Проделанная операция избавления от радикалов в числителе называется умножением на сопряженное выражение и опирается на формулы сокращенного умножения (вспомните их!). Если выражение для имеет вид , то решение задачи в большинстве случаев нужно начинать с домножения его на (и, разумеется, одновременно поделить его на то же самое выражение). Если же выражение для имеет вид , то помогает умножение на выражение вида Для выражения вида в общем случае сопряженным будет

Пример 4.

Решение. Выполним ряд тождественных преобразований:

Пример 5.

Решение. Рассмотрим дробь , которую можно представить в виде: С учетом последнего, выражение данного предела принимает вид:

Дата добавления: 2014-12-29