Применение производной при исследовании функций

Максимум и минимум функции

Определение. Функция в точке имеет максимум, если значение функции в точке больше, чем ее значение во всех точках некоторого интервала, содержащего точку

Определение. Функция в точке имеет минимум, если значение функции в точке меньше, чем ее значение во всех точках некоторого интервала, содержащего точку

Функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только для значений аргумента х, принадлежащих данному отрезку.

Максимум и минимум функции называется экстремумами функции.

Теорема (необходимое условие существования экстремума). Если функция имеет в точке экстремум, то ее производная в данной точке либо обращается в нуль, либо не существует.

Теорема (достаточное условие существования экстремума). Пусть функция непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала, кроме, быть может, самой точки . Если при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с плюса на минус, то в точке функция имеет максимум. Если же производная меняет знак с минуса на плюс, то функция в точке имеет минимум.

Теорема (достаточное условие существования экстремума). Пусть функция имеет первую производную, обращающуюся в нуль в данной точке : . Пусть также существует, непрерывна и отлична от нуля в некоторой окрестности и самой точке вторая производная Тогда в точке функция имеет максимум, если и минимум, если

Значения аргумента функции , при которых производная обращается в нуль или не существует, называются критическими точками.

Дата добавления: 2014-12-29