Направление выпуклости. Точки перегиба

Определение. График дифферен­цируемой функции называется выпуклым вниз на интервале если дуга кривой на этом промежутке расположена выше касательной, проведенной к графику функции в любой точке . Если же на интервале всякая касательная располагается выше дуги кривой, то график дифференцируемой функции на этом интервале называется выпуклым вверх. На рис. 1 график функции является выпуклым вниз на интервале и выпуклым вверх на интервале .

Если функция дважды дифференцируема на и (), то ее график является выпуклым вниз (вверх) на этом интервале. В простейших случаях область определения функции можно разбить на конечное число интервалов с постоянным направлением выпуклости. Каждый из этих интервалов ограничен точками, в ко­торых вторая производная либо равна нулю, либо не существует. Точка в кото­рой направление выпуклости графика функции меняется на противо­положное, называется точкой перегиба.

Рис. 1.

Теорема (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция дважды дифференцируема в некотором интервале, содержащем точку , в которой или не существует. Если при переходе через эту точку вторая производная меняет знак, то – точка перегиба.

Пример. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции .

Решение. Найдем первую и вторую производные данной функции:

При и – на этих участках график функции выпуклый вниз. При – на этом участке график функции выпуклый вверх. Точки – точки перегиба.

Дата добавления: 2014-12-29