Применение производной при вычислении пределов

При раскрытии неопределенностей вида или можно использовать правило Лопиталя:

1. Если то при условии, что предел, стоящий в правой части, существует.

2. Если то при условии, что предел, стоящий в правой части, существует.

При необходимости производные от функций, стоящих в числителе и знаменателе исследуемого выражения, можно брать неоднократно.

Пример.

.

Пример.

.

В случае неопределенностей вида или их следует путем алгебраических преобразований привести их к виду или .

В случае неопределенностей вида , или следует прологарифмировать заданную функцию, а затем также путем алгебраических преобразований привести полученную неопределенность к виду или .

Пример.

.

Пример. .

Имеем неопределенность вида . Прологарифмируем заданную функцию : . Рассмотрим предел:

А так как то следовательно, .

ГЛАВА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определение. Функция называется первообразной от функции на отрезке , если во всех точках этого отрезка выполняется равенство .

Теорема. Если и – две первообразные от функции на отрезке , то разность между ними равна постоянному числу.

Из данной теоремы следует, что если является первообразной для функции , то , где , также является первообразнй для функции .

Определение. Если является первообразной для функции , то выражение называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом , т.е. , где называют подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – знак интеграла.

Теорема (теорема существования). Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Дата добавления: 2014-12-29