Метод интегрирования по частям

Формула интегрирования по частям:

При использовании данного метода, наиболее часто встречаются следующие три основных случая:

1. В подынтегральном выражении – две функции, от одной существует табличный интеграл, а от другой – нет. В этом случае функцию, от которой не существует табличного интеграла обозначают через u.

2. В подынтегральном выражении – две функции, от каждой из которых существуют табличные интегралы, но одна из них представляет собой многочлен. В этом случае через u обозначают многочлен.

3. В подынтегральном выражении – две функции, от каждой из которых существуют табличные интегралы. При этом одна функция тригонометрическая, например, , а вторая не является многочленом. В этом случае для единообразия, через u обозначают тригонометрическую функцию.

Пример 5. Вычислить

Решение. В подынтегральном выражении представлены две функции От функции существует табличный интеграл, от – не существует. Этот пример относится к первому случаю формулы интегрирования по частям. За u принимаем функцию, от которой нет табличного интеграла.

Пример 6. Вычислить

Решение. В подынтегральном выражении можно выделить две функции От обеих функций существует табличный интеграл, но является многочленом. В данной ситуации имеем второй случай формулы интегрирования по частям.

Пример 7. Вычислить

Решение. Структура подынтегрального выражения приводит к третьему случаю формулы интегрирования по частям:

В результате применения интегрирования по частям, получаем уравнение относительно исходного интеграла:

.

Откуда следует, что

или

и, окончательно:

Дата добавления: 2014-12-29