Производные высших порядков

Способы нахождения производной

Правила дифференцирования

1. где

2.

3.

4.

1. Если функция является сложной: то

2. Если функция задана параметрически: то

3. Если функция задана неявно: , то .

Чаще для нахождения производной от функции, заданной неявно, применяют не саму вышеприведенную формулу, а процедуру ее нахождения (см. ниже пример 5). Заметим, что при нахождении переменную y нужно считать постоянной величиной.

4. Для нахождения производной от сложной функции, имеющей вид: , предварительно применяют операцию логарифмирования, в результате которой получаем:

Дифференцируем последнее равенство по х:

Из этого равенства находим

Определение. Производной второго порядка от функции называется производная от производной функции : Вторая производная может обозначается следующим образом:

Определение. Производной n -го порядка от функции называется производная от производной -го порядка:

или

При нахождении производных от заданных функций в первую очередь необходимо установить способ задания функции. Затем, в зависимости от сложности функции, применяем соответствующую формулу и правила дифференцирования.

Пример 1.

Решение. Эта функция задана явно, по структуре является сложной. Представим эту функцию в виде степенной

и применим формулу производной от сложной функции и правила дифференцирования:

Пример 2. .

Решение. Применяем формулу производной от сложной функции:

Пример 3.

Решение. Применяя формулу производной частного, получаем:

Пример 4.

Решение. Данная функция является сложной: одновременно показательной и степенной. Поэтому для нахождения производной от этой функции в начале ее логарифмируем:

Дифференцируем последнее равенство с учетом того, что , получаем:

Пример 5.

Решение. В данном случае функция задана неявно. Дифференцируем заданную функцию с учетом того, что :

Рассматривая это равенство как уравнение относительно , получаем:

Пример 6.

Решение. Применяем формулу производной от сложной функции:

Замечание. Для упрощения вычислений можно предварительно преобразовать данную функцию:

Пример 7.

Решение. Функция задана параметрически. Применяем формулу производной о функции заданной параметрически:

Вычисляем производную второго порядка от функции, заданной параметрически:

Дата добавления: 2014-12-29