Векторное произведение векторов и его свойства

Решение.

Определение. Три некомпланарных вектора , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой стрелке.

левая тройка

правая тройка

Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который:

1) перпендикулярен векторам и , т.е. и ;

2) имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т.е.

, где ;

3) векторы образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается . Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами , которые образуют правую тройку:

Векторное произведение обладает следующими свойствами:

1) При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е.

.

2) Сочетательное свойство:

;

3) Распределительное свойство:

;

.

4) Два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда,

когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т.е.

.

Выражение векторного произведения через координаты векторов и :

.

Дата добавления: 2014-12-29