Скалярное произведение векторов и его свойства

Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведение длин этих векторов на косинус угла между ними:

Из данного выражения можно найти :

Если векторы выражены через координаты и , то скалярное произведение определяется как сумма произведений соответствующих координат:

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1) Переместительное свойство: ;

2) Сочетательное свойство: ;

3) Распределительное свойство: ;

4) Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: .

Опираясь на последнее свойство, заметим, что .

Условие коллинеарности двух векторов и записывается в виде

,

где - числовой множитель. Через координаты это условие записывается в виде

Условие перпендикулярности двух векторов и

записывается в виде

Скалярное произведение может быть представлено в виде

,

где и - проекции одного из векторов на направление второго вектора.

Пример 1. Определить угол между векторами и .

Решение. Используя формулу угла между двумя векторами, находим

Пример 2. Найти проекцию вектора на вектор

Решение. Из представления скалярного произведения векторов находим

Пример 3. Найти длину вектора если

Дата добавления: 2014-12-29