Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

Рассмотрим неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами .

Теорема. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения :

.

Для отыскания частного решения неоднородного дифференциального уравнения существует два способа. Первый способ (он является универсальным) называют методом вариации произвольных постоянных, а второй – подбором частного решения по виду правой части неоднородного уравнения.

Метод вариации произвольных постоянных заключается в том, что величины в общем решении однородного уравнения считают не постоянными, а функциями от х. При этом они должны удовлетворять системе уравнений:

Эта система имеет единственное решение.

Окончательно, выражение будет является общим решением исходного неоднородного дифференциального уравнения, где получаем при решении системы дифференциальных уравнений, указанной выше.

Пример 7. .

Решение. Найдем общее решение однородного уравнения :

Составляем систему уравнений для нахождения и :

Окончательно получаем общее решение неоднородного уравнения:

Подбор частного решения по виду правой части неоднородного уравнения заключается в следующем. Допустим, что правая часть неоднородного уравнения имеет структуру:

,

где и – многочлены степени n и m соответственно.

Частное решение неоднородного уравнения строим в виде:

.

Имея конкретную функцию правой части неоднородного дифференциального уравнения, определяем значения величин n, m, α, β.

Параметры структуры частного решения неоднородного дифференциального уравнения у_чн: μ, е, α, β, определяются следующим образом: значения α и β в структуре частного решения у_чн совпадают с α и β в структуре правой части исходного неоднородного дифференциального уравнения. Если значение совпадает со значением корня характеристического уравнения соответствующего однородного дифференциального уравнения, то μ равно значению кратности этого корня, в противном случае Величина , а сами многочлены и записываются в общем виде с неизвестными коэффициентами, которые определяются из условия, что частное решение у_чн должно удовлетворять исходному неоднородному линейному дифференциальному уравнению.

Пример 8. .

Решение. Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения имеет вид:

В соответствии с корнями характеристического уравнения, общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

.

Исходя из вида правой части данного уравнения, получаем:

Значение совпадает с корнем характеристического уравнения. Кратность этого корня равна 1. Поэтому , Тогда многочлены и представляют собой многочлены нулевой степени с неизвестными коэффициентами, которые можно записать так:

Таким образом, структура частного решения неоднородного уравнения принимает вид: .

Находим все производные от у_чн, входящие в исходное уравнение:

Подставляем выражение и в исходное уравнение:

,

.

Из последнего, требуя выполнения тождества, находим:

Частное решение принимает вид: , а общим решением неоднородного уравнения будет

ГЛАВА 8. РЯДЫ

Дата добавления: 2014-12-29