Линейные однородные дифференциальные уравнения

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Определение. Дифференциальное уравнение n -ого порядка называется линейным, если оно первой степени относительно исходной функции y (x) и ее производных

, где .

Если являются постоянными числами, то уравнение называется линейным дифференциальным уравнением n -ого порядка с постоянными коэффициентами.

Если , то указанное выше уравнение называется линейным однородным, а в случае – неоднородным линейным дифференциальным уравнением n -ого порядка.

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами:

.

Теорема. Если являются линейно независимыми решениями линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка с постоянными коэффициентами, то общее решение этого уравнения имеет вид , где – произвольные постоянные.

Для нахождения линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка необходимо выполнить следующие действия:

1. Составляем характеристическое уравнение:

2. Находим корни этого характеристического уравнения: ;

3. По характеру корней выписываем частные линейно независимые решения, руководствуясь тем, что:

а) каждому действительному однократному корню соответствует частное решение ;

б) каждой паре комплексных сопряженных однократных корней соответствуют два частных действительных решения: и ;

в) каждому действительному корню k кратности r соответствуют r линейно независимых частных решений: ;

г) каждой паре комплексных сопряженных корней кратности m соответствуют 2 m действительных частных решений:

,

.

Этих частных решений будет ровно столько, какова степень характеристического уравнения. Самостоятельно основываясь на определении линейной независимости для функций, предлагается убедиться, что полученные частные решения будут линейно независимыми.

4. Получив n линейно независимых частных решений , стро­им общее решение исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: .

Пример 6. .

Решение. Составляем характеристическое уравнение:

.

Записываем линейно независимые частные решения

.

Получаем общее решение: .

Дата добавления: 2014-12-29