Числовые ряды

Рассмотрим последовательность чисел ,

Определение. Выражение называют числовым рядом, а значения – элементами числового ряда.

Определение. Сумму конечного числа п первых элементов числового ряда называют п -ой частичной суммой ряда и обозначают :

.

Рассмотрим последовательность п -ых частичных сумм числового ряда

Определение. Если существует конечный предел последовательности частичных сумм исходного числового ряда, то он называется сходящимся, а значение предела называют суммой числового ряда. В противном случае его называют расходящимся.

Таким образом: S – сумма числового ряда.

.

Пример 1. Исследовать ряд , который является геометрической прогрессией с первым элементом а и знаменателем q.

Решение. п -ая частичная сумма равна

Если , то прогрессия сходится.

Если , то прогрессия расходится.

Если , то не существует (проверьте!), прогрессия расходится.

Если , то прогрессия расходится.

Пример 2. Гармонический ряд расходится. Попробуйте это доказать самостоятельно.

Пример 3. Обобщенный гармонический ряд (или ряд Дирихле) сходится при и расходится при

Теорема 1 (необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то

Дата добавления: 2014-12-29