Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Свойства сходящихся рядов

Доказательство.

.

Переходим к пределу:

ч.т.д.

Теорема 2. Если сходится ряд, полученный из исходного путем отбрасывания конечного числа элементов, то сходится и сам данный ряд. Обратно, если сходится данный ряд, то сходится и ряд, полученный из данного отбрасыванием конечного числа его элементов.

Теорема 3. Если ряд сходится и ,то ряд , где , также сходится, и его сумма равна .

Теорема 4. Если ряды и сходятся, при этом u и v являются их суммами, то ряды также сходятся, а их суммами будут соответственно значения .

Определение. Ряд называется знакоположительным, если все его элементы неотрицательны.

Теорема 5 (признак сравнения). Если для рядов с неотрицательными элементами и , начиная с некоторого , то из сходимости ряда следует сходимость ряда , и из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Теорема 6 (предельный признак сравнения). Если ряд – ряд с неотрицательными членами, а ряд – со строго положительными, то в случае существования предела данные ряды либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Сравним с рядом . Члены данного и выбранного рядов действительные положительные числа и

Значит ряды либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся. Т.к. ряд расходящийся, то данный ряд расходится.

Теорема 7 (признак Даламбера). Если для ряда с положительными элементами , отношение -ого элемента к n -му элементу имеет конечный предел l, то

а) ряд сходится, если ,

б) ряд расходится, если ,

в) требуется дополнительное исследование, если

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Применим признак Даламбера:

.

Значит, ряд сходится.

Теорема 8 (радикальный признак Коши). Пусть – ряд с неотрицательными членами. Если существует , то:

а) ряд сходится при ,

б) ряд расходится при ,

в) требуется дополнительное исследование, если

Пример 6. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применим радикальный признак Коши:

Значит, ряд сходится.

Теорема 9 (интегральный признак Коши). Пусть элементы ряда положительны и не возрастают: Существует непрерывная невозрастающая функция такая, что . Тогда:

1) если несобственный интеграл сходится, то сходится и исходный ряд,

2) если указанный интеграл расходится, то расходится и исходный числовой ряд .

Пример 7. Исследовать ряд на сходимость .

Решение. Воспользуемся предельным признаком сравнения рядов.

В качестве ряда для сравнения выберем . Имеем

Следовательно, данный и выбранный ряд либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся.

Выясним сходимость ряда . Для этого применим интегральный признак сходимости:

.

Значит, ряд сходящийся. Поэтому ряд также сходится.

Почему суммирование ряда начинается с номера , а не

Дата добавления: 2014-12-29