Вычисление длины дуги кривой

Решение.

Если функция и ее производная являются непрерывными на отрезке , то длина дуги кривой, заданной функцией , вычисляется по формуле:

где – абсциссы концов дуги.

Если кривая задана параметрическим уравнением

, то

Пример 3. Вычислить длину дуги астроиды: (рис. 9)

Для вычисления длины всей астроиды достаточно вычислить длину дуги в первой четверти и, учитывая ее симметрию относительно координатных осей, умножив на 4, получим длину всей астроиды.

ГЛАВА 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

7.1. Дифференциальные уравнения

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию и ее производные

В общем виде дифференциальное уравнение записывается так:

или

Если искомая функция зависит только от одной переменной величины, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения n -го порядка называется функция , зависящая от n произвольных постоянных , такая, что она удовлетворяет уравнению при любых значениях постоянных и при любых значениях начальных условий постоянные можно подобрать так, что функция будет удовлетворять этим условиям.

Соотношение вида , неявно определяющее общее решение, называют общим интегралом дифференциального уравнения.

Всякая функция, полученная из общего решения при конкретных значениях постоянных , называется частным решением. График частного решения называется интегральной кривой данного дифферен­циального уравнения.

Определение. Задачу нахождения решения уравнения

,

удовлетворяющего начальным условиям …, называют задачей Коши для дифференциального уравнения.

Дата добавления: 2014-12-29