Индикатриса рассеяния

Трудно поверить, что один из творцов молекулярно-кинетической теории Людвиг Больцман (1844-1906) вывел это уравнение тогда, когда существование самих молекул у многих ученых еще вызывало большие сомнения.

УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ

НЕЙТРОННЫЕ ПОЛЯ В ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

Уравнение переноса (или «кинетическое» уравнение) лежит в основе теории ядерных реакторов, сверхзвуковой аэродинамики, астрофизике, во множестве различных задач, включая изучение состава природных сред методами радиометрии. В ХХ веке стало ясно, что это — наиболее общее уравнение математической физики и теории случайных процессов. Его частными случаями (при соответствующих условиях) оказались другие, открытые ранее, феноменологические уравнения математической физики, описывающие перенос вещества в различных формах — уравнения диффузии и теплопроводности, оптики, гидродинамики, колебательных (волновых) процессов и др.

Уравнение Больцмана является нелинейным (точнее, билинейным) интегро-дифференциальным, поскольку на искомую функцию действуют дифференциальный и интегральный операторы. Уравнение переноса излучения — частный случай уравнения Больцмана, оно является линейным. Линейность уравнения переноса обусловлена тем, что числа нейтронов или гамма-квантов, вводимых в вещество внешними источниками, несоизмеримо меньше числа мишеней, с которыми они взаимодействуют (взаимодействия нейтрон-нейтрон или фотон-фотон не допускаются).

Теория переноса нейтронов или гамма-квантов в веществе имеет статистический характер. Она позволяет вычислить вероятность того, что частица находится в заданном фазовом состоянии. Состояние частицы определяется заданием соответствующей точки в фазовом пространстве семи измерений: , где — пространственная координата, — единичный вектор, указывающий направление движения, Е — энергия, t — время, v - скорость. В отличие от нейтронов, скорость которых определяется их энергией, для фотонов (как частиц релятивистских) их скорость (скорость света) остается неизменной, хотя энергия при многократном (комптоновском) рассеянии уменьшается.

Общая проблема теории переноса излучения (так называемая «прямая задача») формулируется следующим образом: по заданному фазовому распределению источников излучения, геометрическому расположению сред известных состава и плотности (в общем случае неоднородных и ограниченных сред) определить фазовое распределение частиц.

Теоретический анализ процессов замедления быстрых и диффузии тепловых нейтронов в веществе основан на знании нейтронных сечений и решениях уравнения переноса (или его приближенных форм), а также законов сохранения энергии-импульса в однократном рассеянии.

Решением этого уравнения является функция распределения нейтронов в семимерном фазовом пространстве. Произведение дает число нейтронов в момент времени в элементарном объеме около точки декартовых координат, направления скоростей которых заключены в телесном углу вокруг , а энергия - в пределах от до . В однократном взаимодействии c мишенью заданного типа ширина этого интервала энергий определяется законами сохранения импульса и энергии.

Уравнение переноса выводится как уравнение баланса числа частиц в элементе объема фазового пространства. Изменение Δ функции распределения за время вдоль луча, ориентированного по направлению скорости ,

Δ = - (7.44)

равно разности числа нейтронов , приходящих в заданное состояние в результате рассеяния из некоторого другого состояния, и числа нейтронов , покидающих состояние за время в результате рассеяния и поглощения в элементарном объеме :

Δ = - - (7.45)

Величины , и могут быть записаны в виде

; (7.45)

; (7.45)

, (7.45)

где и - макросечения рассеяния и захвата нейтронов при энергии Е, и — скорости нейтрона до и после столкновения с ядром.

Входящий в выражения (7.45) множитель называется индикатрисой рассеяния. Он определяет плотность вероятности того, что в результате рассеяния на ядре энергия нейтрона изменится от величины до , причем нейтрон отклонится от первоначального направления на угол ,

Поскольку в результате рассеяния нейтроны обязательно (т.е. с вероятностью, равной единице) переходят в некое новое состояние, то независимо от конкретного вида индикатрисы должно выполняться условие нормировки:

, (7.46)

и выражение (7.45) принимает вид:

. (7.47)

Вводя полную длину свободного пробега , и объединяя Δ B и Δ C, имеем

Δ B + Δ C=

Переходя к пределу

(Δ / Δt)= {[ - ]/Δt} =DN/Dt, (7.48)

получаем «субстанциональную» производную DN/Dt (приращения одновременно получают два аргумента):

. (7.48)

Уравнение баланса фазовой плотности нейтронов предстает в виде:

(7.49)

Через Q(x) здесь обозначена «мощность» источника – число нейтронов, поставляемых источником в единицу времени в заданную точку фазового пространства. Замечая, что , где (E) и - соответственно полная длина и время свободного пробега нейтрона в замедлителе, удобно вместо плотности нейтронов ( x ) ввести новую функцию распределения ( x ), имеющую смысл плотности столкновений (полного числа столкновений, отнесенного к единице времени):

, (7.50)

так что плотность потока нейтронов ( x ) равна:

. (7.50 )

Плотность потока нейтронов Ф ( ) имеет размерность [ ] и численно равна пути, который пройдет нейтрон за 1 с при отсутствии поглощения и рассеяния. Так как рассеяние происходит на расстоянии , поглощение — на расстоянии , то число рассеянных нейтронов равно

,

а число поглощенных нейтронов (так называемая «плотность поглощения»)

.

Произведение дает полное число взаимодействий в 1 см³ вещества.

Теперь уравнение переноса принимает свою каноническую форму:

(7.51)

где - полная вероятность рассеяния, связанная с полной вероятностью поглощения соотношением

. (7.52)

Интегральный член в уравнении переноса (7.51) называется «интегралом столкнове­ний».

В общем случае произвольной смеси ядер различных элементов индикатриса рассеяния равна:

, (7.53)

где - парциальная вероятность рассеяния на ядрах данного сорта, равная отношению S_sM/S_s, и уравнение переноса нейтронов имеет вид:

(7.54)

В случае стационарного источника .

Уравнение переноса (7.51) описывает прохождение через вещество как быстрых, так и тепловых нейтронов. Различный характер элементарного взаимодействия с мишенями в разных энергетических областях (атомные ядра, атомы, молекулы, кристаллическая решетка) проявляется в различии соответствующих индикатрис рассеяния и сечений.

Величины полного свободного пробега и времени свободного пробега зависят от энергии нейтронов, но не зависят от координат и направления движения (в однородных и изотропных средах). На границах сред с различными свойствами и могут изменяться скачкообразно, оставаясь неизменными в пределах этих сред. На границе между двумя средами различного состава и плотности, в которых длина свободного пробега соответственно и , , функция распределения нейтронов должна быть непрерывной для любого .

Индикатриса упругого рассеяния нейтронов в веществе определяется законами сохранения энергии и импульса в системе координат, жестко связанной с центром инерции системы «нейтрон - ядро-мишень» («система центра инерции»). Экспериментальные измерения проводятся в системе координат, в которой до рассеяния ядра замедлителя неподвижны («лабораторная» система). В соответствии с этим необходимо индикатрису рассеяния также выразить в лабораторной системе координат.

Если выбрать в качестве единицы измерения массы ядра - мишени массу нейтрона, выразить скорость нейтрона в лабораторной системе координат до и после рассеяния в виде и , то, пользуясь законами сохранения энергии и импульса при упругом рассеянии, можно получить следующие выражения для угла рассеяния нейтронов в координатах системы центра инерции и в лабораторной системе координат:

, (7.55)

. (7.56)

Из выражения (272) видно, что максимальная потеря скорости нейтрона происходит при «лобовом» ударе (, когда ), а также, что отношение скоростей (энергии) нейтрона до и после рассеяния не зависит от скорости (энергии) перед столкновением, а определяется лишь массой ядра - мишени . Последнее обстоятельство используется в формальном аппарате теории замедления, так как позволяет ввести новую переменную , характеризующую энергию нейтрона), и называемую летаргией (или логарифмической энергией):

, (7.57)

где и - начальная и текущая кинетическая энергии нейтрона. Поскольку масса нейтрона совпадает с массой протона (ядра водорода), при упругом рассеянии водород оказывается аномально сильным замедлителем среди всех других элементов.

Величина потери энергии нейтронов, выраженная в единицах , в результате столкновения не зависит от их энергий перед столкновением. Введение летаргии позволяет сжать чрезвычайно широкую область энергий, в которой происходит процесс замедления (), в значительно более обозримый интервал изменения переменной ().

С новой переменной выражения (272) и (273) принимают вид:

, (7.58)

. (7.59)

Максимальное увеличение летаргии в одном столкновении равно:

. (7.60)

В каждом столкновении изменение летаргии нейтронов заключено в пределах

. (7.61)

При изотропном рассеянии в системе центра инерции, характерном для нейтронов с энергией, равной сотням keV, плотность вероятности рассеяния нейтронов в заданный телесный угол будет равна:

, (7.62)

где, в соответствии с формулой (7.58),

. (7.63)

Плотность вероятности рассеяния с заданным изменением летаргии получим, разделив выражение (7.63) на величину изменения летаргии и :

, (7.64)

где обозначено

. (7.65)

Чтобы перейти от величины к индикатрисе рассеяния , надо учесть, что равенство (7.64) справедливо лишь тогда, когда , так как нарушение этого равенства означает отсутствие столкновения с ядром. С этой целью величину необходимо умножить на дельта-функцию Дирака от аргумента :

. (7.66)

С полученным выражением для индикатрисы рассеяния, уравнение переноса нейтронов приводится к виду:

(7.67)

где среднее время свободного пробега между двумя столкновениями

. (7.68)

Функции распределения и связаны соотношением: , откуда

. (7.69)

Дата добавления: 2014-12-29