Возрастное приближение

Источник нейтронов будем считать изотропным, стационарным и точечным с единичной мощностью. Во всем пространстве, кроме области, занимаемой источником в начале координат, .

Предположим, что кинетическая энергия замедленных нейтронов много меньше их начальной энергии . В этом случае нейтроны должны испытать в среднем большое число столкновений с ядрами замедлителя, вследствие чего функция распределения с уменьшением энергии теряет свою угловую анизотропию. Угловая зависимость поэтому может быть представлена в виде двух первых членов разложения ее в ряд по сферическим функциям:

, (8.70)

где

- поток нейтронов, деленный на длину свободного пробега, или первый угловой момент функции распределения. При этом предполагается выполнение неравенства:

, (8.71)

означающего слабую пространственную зависимость функции распределения нейтронов.

Подставляя разложение (8.70) в уравнение переноса (8.67), и интегрируя по углам, получим:

(8.72)

Умножая далее уравнение переноса на и интегрируя по углам, имеем:

(8.72 )

Уравнения (8.72) и (8.72) образуют систему, позволяющую определить функции и . Фазовое распределение нейтронов восстанавливается по этим функциям в соответствии с формулой (8.70).

Предположим, что произведение слабо зависит от изменения летаргии в интервале , вследствие чего в интеграле столкновений оно может быть аппроксимировано начальными членами тэйлоровского разложения по летаргии:

.

Примем также, что . Тогда система уравнений (8.72) и (8.72') принимает следующий вид:

; (8.73)

. (8.73')

В уравнении (8.73) использовано определение среднего изменения летаргии , а в уравнении (8.73')—среднего косинуса угла рассеяния .

Из выражения (8.73) следует уравнение, называемое законом Фика:

, (8.74)

где D(u) – коэффициент диффузии для плотности потока

. (8.75)

Величина

(8.76)

называется транспортной длиной свободного пробега или длиной переноса. Она характеризует длину свободного пробега нейтронов с учетом их преимущественного рассеяния в переднюю полусферу из-за угловой анизотропии однократного столкновения.

Подставляя (8.74) в уравнение (8.73), получим:

. (8.77)

Таким образом, интегро-дифференциальное уравнение переноса преобразовано в дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка параболического типа относительно функции .

Напомним, что уравнение (8.77) получено, исходя из предположений о том, что индикатриса рассеяния обладает слабой анизотропией, функция углового распределения нейтронов слабо зависит от координат

, (8.78)

и что произведение слабо зависит от летаргии (это значительно менее жесткое ограничение, чем предположение о слабой энергетической зависимости непосредственно величины ):

. (8.79)

Указанные условия предполагают выполнение неравенств

, или , (8.80)

(очень слабое поглощение), поскольку присутствие в замедлителе поглощающих нейтроны примесей существенно усиливает пространственную и энергетическую зависимость функции распределения, а также ее угловую анизотропию.

Дифференциальное уравнение (8.77) можно упростить подстановкой

(8.81)

и введением вместо летаргии новой переменной

. (8.82)

В этом случае оно принимает вид

, (8.83)

т. е. совпадает с уравнением теплопроводности, в котором роль времени играет переменная (при этом коэффициент температуропроводности равен единице). Величина имеет размерность площади и называется «фермиевским возрастом» нейтронов, а уравнение (8.83) - «уравнением возраста».

Решение уравнения (8.83) имеет следующий вид:

, (8.84)

где

. (8.85)

Решение уравнения (8.83) получено в предположении слабой зависимости от координат

или (8.86)

и слабой зависимости произведения от летаргии (это менее жесткое ограничение, чем предположение о слабой энергетической зависимости непосредственно ):

. (8.87)

Указанные условия предполагают в свою очередь выполнение неравенства g(u)<< l или , поскольку присутствие поглотителей нейтронов существенно усиливает пространственную, угловую и энергетическую зависимость функции распределения. По этой причине выражение (21) применимо для описания энергетического спектра нейтронов, замедленных лишь в слабо поглощающих средах.

Подставляя (8.84) в (8.86), находим

, (8.88)

где — средний квадрат смещения нейтрона в процессе замедления до заданной энергии. Следовательно, выражение (8.84) справедливо на малых расстояниях от источника. Из условия (8.87) следует , т. е. заданное значение летаргии должно достигаться в результате большого числа столкновений . При этом условии анализ результата возрастного приближения как частного случая строгого решения уравнения переноса дает более точную оценку границ применимости. Выражение (21) справедливо до расстояний порядка , где — максимальная на интервале замедления полная длина свободного пробега нейтронов.

Дата добавления: 2014-12-29