Детерминированные модели управления запасами

Модели управления запасами

Существует несколько моделей управления, различающихся исходными условиями и способами пополнения запаса. Заметим, что все эти модели однопродуктовые, т.е. предполагают управление запасом одинаковых или однородных (сводимых к одному виду или способу учета) продуктов. А управление произвольным складом строится на основе комбинации конечного числа однопродуктовых моделей.

Рассмотрим основные положения управления запасами на идеальной модели. Она строится, исходя из следующих предположений:

а) интенсивность (скорость) потребления ресурса (продукта, предметов производства) из запаса известна и постоянна;

б) потребление осуществляется мелкими партиями или поштучно, а пополнение (возобновление) запаса – крупной партией;

в) пополнение запаса происходит мгновенно при снижении его уровня до нуля.

Обозначим партию поставки – Q_пост , ритм поставки – T_пост, тогда интенсивность потребления A = Q_пост / T_пост. Графическое изображение идеальной модели показано на рис. 16.

Рис.16 Идеальная модель управления запасом.

Графическая модель отражает изменение величины запаса Н во времени и состоит из последовательности циклов его потребления и мгновенного пополнения (аналогия: зубья пилы). Величина запаса может измеряться любыми натуральными единицами, например, штуками, тоннами или единицами хранения (коробки, контейнеры), в которых могут находиться различные, но однородные по параметрам управления их запасом ресурсы. В графической модели сделано одно допущение: ступенчатая линия потребления аппроксимирована прямой. Это возможно, если партия поставки существенно больше партии потребления, т.е. Q_пост > Q_потр => 1. Тангенс угла наклона (ά) этой прямой к оси времени чис­ленно равен интенсивности потребления ресурса, т.е. tg α = I.

На идеальной модели аналитически решается лишь один вопрос из двух, поставленных ранее, а именно: определяется величина партии поставки ресурса. При этом исходят из минимизации суммарных затрат (3)на хранение ресурса и на пополнение его запаса (рис. 3).

Пусть h - затраты на хранение единицы запаса в течение года; D -годовой объем потребления ресурса; S - затраты, обусловленные поставкой очередной партии. Тогда Q_пост/2 - средний объем хранения, Q_постh/2 - средние затраты на хранение запаса за год; D/Q_пост - количество партий, получаемых за год; DS/Q_пост - затраты на поставку ресурса за год. К последним относятся затраты на ведение переговоров с поставщиком, оформление документации, частично - транспортные расходы и т.п. В качестве планового периода может быть выбран не только год, а любой удобный интервал времени.

Рис 17. Зависимость затрат от размера партии поставки.

Взяв производную функции суммарных затрат

3 = (Q_пост h/2) + (DS)/ Q_пост

и приравняв ее нулю, получим размер оптимальной партии:

(Q_пост )_опт =

Как видим, стоимость ресурса не входит в эту модель, так как какими бы партиями ни пополнялся запас, стоимость потребленного за год ресурса останется постоянной и составит сD, где с - цена его единицы. Если включить это слагаемое в запись суммарных затрат, то производная по Q_пост от постоянной величины окажется равной нулю, и мы получим ту же формулу для расчета (Q_пост )_опт .

Данная модель дает устойчивое решение, так как допустимы значитель­ные отклонения размера партии от найденного оптимума без существенного роста суммарных затрат, что хорошо видно на рис. 17. Это свойство использует­ся для корректировки (Q_пост)_опт в целях учета факторов, не вошедших в модель.

Рассмотренная модель в зарубежной литературе получила название Deterministic Economic Order Quantity (EOQ).

Далее, взяв за основу модель ЕОQ, снимем два ограничения на условия ее применения, что позволит вновь полученным моделям с достаточной степе­нью адекватности отражать реальные ситуации. Во-первых, будем считать, что исполнение заказа на поставку очередной партии происходит не мгновенно, а за конечное время Т_вз > 0. Это время требуется для оформления документации, на изготовление или закупку партии, ее доставку на склад, входной контроль и т.п. Будем считать, что оно практически не зависит от размера партии поставки.

Простейшей моделью, соответствующей этому условию, является так называемая модель производственного запаса, которая отличается от ЕОQ тем, что пополнение запаса происходит не скачком, а постепенно, по мере изготовления партии поставки.

Пусть Т_вз - срок изготовления и поставки очередной партии, Р — интенсивность изготовления (пополнения запаса), Р=Q_пост / Т_вз. Графический вид этой модели показан на рис. 17.

Пунктирная прямая на рис. 18. показывает, как нарастал бы запас, если бы одновременно с пополнением он не потреблялся. Тангенс угла наклона (β) этой прямой к оси времени численно равен интенсивности производства ресурса и пополнения запаса, т.е. tg β = Р.

На основе уточнения модели ЕОQ можно получить формулу для расчета оптимальной партии поставки в этом случае:

(Q_пост )_опт =

Рис. 18. Идеальная модель управления запасом при одновременном поступлении и потреблении ресурса со склада.

Такая модель называется моделью производственного запаса, так как она обычно встречается в условиях производства, где запас изделий создается между двумя смежными рабочими местами, участками и т.д. Затраты S, обусловленные поставкой очередной партии, здесь трактуются как затраты на переналадку производящего подразделения, а интенсивность Р - как его производительность.

В зарубежной литературе рассматривается еще один тип моделей, получаемый расширением модели EОQ. Это модель с дисконтированием по размеру партии поставки. Суть ее - в учете скидки (дисконта) с цены закупаемого ресурса при росте партии. Дополнительно в качестве исходной информации в модель должна быть введена таблица дисконтирования.

Для всех трех типов моделей, рассмотренных выше, нахождение оптимальной партии поставки автоматически ведет к установлению оптимального ритма поставки из соотношения Т_пост = Q_пост / I.

Снимем второе ограничение с идеальной модели, а именно, учтем, что интенсивность потребления ресурса со склада может заметно колебаться около своего среднего уровня, который в модели ЕОQ жестко фиксировался. Действительно, если в одном из циклов потребления интенсивность окажется существенно больше средней, а в другом - существенно меньше, это может создать экстремальные управленческие ситуации, требующие разработки специальных методов разрешения. Собственно, это и является одной из основных задач управления запасами в реальных условиях.

Классификация основных типов реальных моделей управления запасами (рис.19) выполняется по двум признакам. Первый - характер изменения интен­сивности потребления ресурса; второй - способ управления запасом. Применительно ко второму признаку отметим, что соотношение R_пост = Q_пост / I для реальных моделей теряет свою силу и управлять запасом можно, либо опираясь на заранее найденное значение (Q_пост )_опт, либо на удобный ритм поставок, либо не задавая заранее ни один из этих двух параметров.

Рис. 19. Классификация реальных моделей управления запасами

Переход к реальным моделям связан с необходимостью зафиксировать еще один принцип управления; дефицит (отсутствие) ресурса на складе при оговоренных исходных параметрах должен быть полностью исключен (в детерминированных моделях) или исключен с заданной вероятностью (в стохастических моделях).

Модель управления с фиксированной партией поставки

Пусть интенсивность потребления ресурса со склада изменяется, с равной вероятностью принимая любое значение в интервале (a_min, a_mах); время исполнения заказа Т_вз и размер партии поставки Q_пост зафиксированы, например, договором с поставщиком ресурса. Управляющим параметром в этой модели является остаточный уровень запаса на складе. Тот уровень запаса, при котором должен быть сделан заказ очередной партии, называется точкой заказа М_тз. Она рассчитывается из предположения, что склад должен обеспечивать бездефицитное снабжение потребителей в течение всего срока от заказа до поставки очередной партии Т_вз. Это возможно лишь в том случае, если предположить худший вариант, т.е. максимальную интенсивность потребления ресурса на весь этот период. Тогда

М_тз = Т_вз a_max + З_{страховой}

Уровень запаса, который остается на складе к моменту поставки очередной партии при средней интенсивности потребления ресурса, но расходуется при интенсивности выше средней, называется резервным запасом. Его значение З_рез рассчитывается так:

З_рез = З_тз – Т_вз a_ср = Т_вз (a_max - a_min) / 2, где a_ср= (a_max + a_min) / 2

Циклы потребления (поставки) при этом способе управления имеют разную продолжительность вследствие меняющейся интенсивности потребления.

Еще одним важным параметром управления является максимальная величина запаса, определяющая необходимую для хранения емкость склада. Она рассчитывается следующим образом:

З_скл = З_тз – Т_пост а_min + Q_пост = Т_пост (a_max - a_min) + Q_пост

Следует отметить важную особенность этого способа управления. Не имеет значения, по какой траектории снижается запас до уровня З_тз ,. Имеет значение лишь характер расходования ресурса в течение срока поставки: максимальная интенсивность в течение всего срока Т_вз определяет З_тз и З_рез, минимальная - значение З_скл. Отсюда следует, что при этом способе управления надежную работу склада обеспечивает резервирование запаса именно на интервале Т_взт.

Снижение уровня запаса ресурса на складе в общем случае представлено графиком кусочно-линейной функции, так как для каждого элементарного временного участка (день, неделя и т.д.) характерно свое значение интенсивности потребления (при соблюдении ограничения а_max ≥ а ≥ а_min) и свой угол наклона отрезка прямой, отражающего потребление ресурса на этом участке.

Очевидно, что партия поставки не должна быть меньше точки заказа, т.е.

Q_пост ≥ P_тз = Т_пост a_max.

Кроме того, если размеры склада, отводимого под хранение данного ре­сурса, лимитированы, то на величину партии накладывается еще одно ограничение

Q_пост ≤ З_скл – Т_пост (а_max - а_min)

При необходимости размер партии поставки должен быть cкорректирован. Если это невозможно, то корректируется срок поставки.

Расчет оптимальной партии выполняется так же, как и в модели ЕОQ; появление в рассматриваемой модели резервного запаса не влияет на методику расчета. Объясняется это тем, что резерв создается один раз, и далее его уровень автоматически поддерживается действующей моделью управления, не будучи никак связан с размером партии поставки.

Пересчет параметров управления запасом: З_тз, З_рез, З_скл выполняется только при устойчивом изменении параметров потребления ресурса со склада, т. е. значений а_mах и а_min, или при заключении договора с поставщиком на новых условиях - при изменении Q_пости Т_пост .В этом случае изменение величины ре­зервного запаса происходит за счет соответствующего увеличения или умень­шения первой партии поставки, и также имеет разовый характер.

Модель управления с фиксированным ритмом поставки

Пусть, как и в предыдущей модели, заданы: а_mах, а_min, Т_вз,а вместо пар­тии поставки по условию договора с поставщиком зафиксирован ритм поставки Т_пост. В такой модели управляющим параметром является время, т.е. заказ и получение очередных партий происходит через строго определенные промежутки времени. В момент заказа фиксируется текущий остаток ресурса на складе З_тек и средняя интенсивность потребления за цикл а_тек и на их основе рассчитывается величина текущей партии поставки Q_тек , обеспечивающая заполнение склада емкостью З_скл:

Q_тек = З_скл - З_тек + Т_вз а_тек

Таким образом, размер партии поставки в этой модели — величина переменная и зависит от фактического уровня запаса на момент его проверки через одинаковые промежутки времени: заказ = М_факт- М_нормат+ З_{страховой}

(Q_тек )_max = З_скл, (Q_тек )_max = Т_вз а_min

Величину резервного запаса рассчитаем, ориентируясь на соотношение

З_скл = Т_вз а_max,

которое означает, что емкости склада должно хватить на случай потребления ресурса с максимальной интенсивностью в течение всего цикла. Тогда

З_рез = З_скл - Т_пост а_ср = Т_пост (а_mах - а_ср ).

Следует обратить внимание на то, что в отличие от предыдущей модели здесь потребление ресурса резервируется на всем цикле Т_пост,атам - только на сроке поставки Т_пост. Другими словами, здесь резервный запас должен быть больше.

Приведенная выше модель пригодна для использования, однако имеет один существенный недостаток. Дело в том, что в момент заказа в ней происходит прогнозирование интенсивности потребления ресурса на срок поставки. Если прогноз ошибочен, то поступившая партия либо не заполнит склад целиком, и тогда в следующем цикле может возникнуть дефицит ресурса, либо перепол­нит его, что также недопустимо.

Для устранения этого недостатка усовершенствуем предложенную модель. В целях исключения переполнения склада будем всегда ориентироваться на худший в этом смысле случай - минимальное потребление ресурса в течение всего срока поставки. Тогда текущая партия составит:

Q_тек = З_скл – З_тек + Т_вз а_min

Во избежание дефицита будем резервировать емкость склада как на весь следующий цикл потребления, так и на ближайший срок поставки. Для этого рассчитаем З*_скл - условный максимальный запас, т.е. уровень, которого достиг бы запас, если бы заказанная партия поступила на склад мгновенно.

З*_скл = (Т_пост + Т_вз) а_min

Емкость склада может быть меньше З*_скл на величину минимально возможного потребления ресурса за время Т_вз :

З_скл = З*_скл - Т_вз а_min = (Т_пост + Т_вз) а_max – Т_вз а_min = Т_пост а_max + Т_вз (а_max - а_min).

В этом случае размер текущей партии поставки пересчитывается следующим образом:

Q_тек = Т_пост а_max + Т_вз (а_max – а_min) – З_тек + Т_из а_min = (Т_пост+ Т_вз) а_max - З_тек = З*_скл - З_тек

Резервный запас равен:

З_рез = З*_скл - (Т_пост+ Т_вз) а_ср = (Т_пост+ Т_вз) (а_max - а_min) = Т_пост (а_max – а_ср) + Т_вз(а_max – а_ср)

Как видим, в отличие от упрощенной модели, где в течение срока поставки склад не был застрахован от неприятностей, в доработанной модели срок поставки участвует в расчетах и емкости склада, и резервного запаса. Соответственно величина резервного запаса еще больше возрастает.

При заключении договора с поставщиком на условиях фиксированного ритма поставки менеджер должен контролировать, достаточна ли емкость склада при выборе удобных ритма и срока поставки, а при ограниченной емкости требовать их корректировки.

В договор по инициативе поставщика могут быть включены также ограничения на минимальный и максимальный размер текущей партии поставки: (n_тек)_min и (n_тек)_max, что также может повлиять на выбор величины R_пост:

R_пост ≤ (n_тек)_max / I_max, R_пост ≥ (n_тек)_min / I_min

Если в качестве ритма поставки выбран месяц, что бывает достаточно часто, возникают дополнительные трудности с расчетом параметров управления при меняющемся количестве рабочих дней в нем.

Комбинированный способ управления запасом

Пусть, как и в предыдущих моделях, заданы а_min,а_max,Т_вз, а партия и ритм поставки не зафиксированы. Тогда управление осуществляется комбинированным способом. При этом:

как в первой модели, управляющим параметром является уровень (остаток) запаса на складе, а для управления используются резервный запас и точка заказа;

как во второй модели, в момент заказа рассчитывается величина текущей партии поставки, обеспечивающая заполнение склада емкостью З_скл.

Значения З_тзи З_рез рассчитываются по известным формулам, а расчет Q_тек отличается от предложенного в предыдущей модели и выполняется по формуле:

Q_тек = З_скл – З_тз + Т_вз а_тек = З_скл - З_пост (а_max – а_тек).

Емкость склада здесь фиксируется на необходимом или имеющемся уровне. При этом под контролем менеджера при заключении договора должно находиться выполнение условия

З_скл ≥ З_тз или Т_вз ≤ З_скл / а_max

В договоре с поставщиком могут быть указаны также ограничения на максимальный и минимальный размер текущей партии. Если (Q_тек)_max ≥ З_скл, то никаких изменений в управление это не вносит; если (Q_тек)_max < З_скл, то емкость склада иногда будет использоваться нерационально. При этом должно выполняться:

(Q_тек)_max ≥ З_тз или Т_вз≤ (Q_тек)_max / а_max,

Т_вз ≤ (З_скл - (Q_тек)_min) / (а_max - / а_min)_.

Комбинированный способ управления запасом ввиду своей простоты, наглядности и минимального числа, фиксируемых в договоре параметров наиболее распространен на практике. Однако здесь, так же как и во второй модели управления, прогнозируется потребление ресурса на срок поставки (путем введения в расчет Q_теквеличины а_тек) и, так же как там, могут возникнуть нежелательные следствия неправильного прогноза. Но модификация этой модели, в отличие от предыдущей, невозможна и попытки ее выполнить вряд ли целесообразны. Действительно, если фактическое потребление на интервале Т_вз отлично от прогнозируемого, то при поступлении очередной партии склад окажется либо незаполненным, либо произойдет его переполнение. Первая ситуация не опасна, если Q_тек ≥ З_тз. Вторая - нежелательна, однако в большинстве случаев не приводит к потерям. Модифицировать же модель по аналогии с предыдущей, заказывая партию каждый раз с расчетом на минимальное потребление ресурса для исключения переполнения им склада, означало бы вернуться к размеру партии, фиксированному на уровне:

Q_тек = З_скл - З_тз + Т_вз а_min,

т.е. к первой модели управления запасом.

Преимущества и недостатки различных систем управления запасами.

Сравнение основных систем управления запасами приведено в таблице 18.

Использование той или иной системы управления запасами зависит от следующих обстоятельств:

1. Если издержки управления запасами значительнее и их можно вычислить, то следует применять систему с фиксированным размером заказа.

2. Если издержки управления запасами незначительные, то более предпочтительной оказывается система с постоянным уровнем запасов.

3. При заказе товаров поставщик налагает ограничения на минимальный размер партии. В этом случае желательно использовать систему с фиксированным размером заказа, поскольку легче один раз скорректировать фиксированный размер партии, чем непрерывно регулировать его переменный заказ.

4. Однако если налагаются ограничения, связанные с грузоподъемностью транспортных средств, то более предпочтительной является система с постоянным уровнем запасов.

5. Система с постоянным уровнем запасов более предпочтительна и в том случае, когда поставка товаров происходит в установленные сроки.

Система управления запасами с фиксированным размером заказа часто выбирается тогда, когда необходимо быстро реагировать на изменение сбыта.

Таблица 18

Сравнение систем управления запасами.

Система	Преимущества	Недостатки
С фиксированным размером заказа	1. Меньший уровень максимального желательного запаса 2. Экономия затрат на содержание запасов на складе за счет сокращения площадей под запасы. 3.Сокращение транспортных расходов	Введение постоянного контроля за наличием запасов на складе
С фиксированным интервалом времени между заказами	Простота системы. Регулирование осуществляется один раз в течение всего интервала между поставками	1. Возникновение опасности исчерпания запаса до окончания периода очередной поставки (при резком повышении уровня спроса) 2. Повышение затрат на содержание запасов на складе за счет увеличения площадей под запасы 3. Необходимость делать заказ даже на незначительное количество материалов

Дата добавления: 2014-12-29