Числовые ряды

РЯДЫ

Пусть задана числовая последовательность { a _n}, n = 1, 2, ….

Числовым рядом называется выражение, получаемое с помощью формального суммирования элементов заданной числовой последовательности {a_n}, т.е. выражение вида

a₁ + a₂ + … +a_n + ….

Числовой ряд обозначается как . Элементы заданной последовательности a_n, n = 1, 2, …, называются при этом членами ряда, а суммы первых членов ряда s_n = a₁ +a₂ + … + a_n, n = 1, 2, … – частичными суммами ряда порядка n.

Пример 3.1.

Примеры числовых рядов:

1) – гармонический ряд;

2) – бесконечная геометрическая прогрессия;

3) – разложение в ряд числа e n

Если в определении числового ряда заменить числовую последовательность {a_n} на последовательность действительных функций {f_n(x)}, определенных на одном и том же множестве Х', x ÎX', являющемся некоторым подмножеством множества действительных чисел, то приходим к понятию функционального ряда.

Функциональным рядом называется выражение, получаемое с помощью формального суммирования элементов заданной последовательности действительных функций {f_n(x)}, определенных на одном и том же множестве Х', x ÎX', т.е. выражение

f₁(x) + f₂(x) + … +f_n(x) + ….

Функциональный ряд обозначается как . Заданные функции f_n(x), n = 1, 2, …, называются членами ряда, а суммы первых членов ряда s_n(x) = f₁(x) + f₂(x) + … +f_n(x), n = 1, 2, … – частичными суммами ряда порядка n.

Числовой ряд называют сходящимся, если последовательность его частичных сумм {s_n} имеет конечный предел , который в этом случае называют суммой ряда и пишут . Если последовательность {s_n} не имеет конечного предела, ряд называют расходящимся.

Критерий Коши сходимости ряда. Числовой ряд сходится тогда и только тогда, когда для любого e > 0 существует такой номер N, что для всех n ³ N и всех целых p ³ 0 выполняется неравенство

Формальная запись: " e $ N " n " p n ³ N Ù p ³ 0 Þ n

Пример 3.2.

Примером сходящегося ряда является сумма членов бесконечной геометрической прогрессии при условии, что |q|<1. В этом случае . Если же |q| ³ 1, то мы получаем пример расходящегося ряда n

Если ряд сходится, то последовательность его членов {a_n} стремится к нулю, т.е. n

Обратное утверждение неверно: последовательность членов гармонического ряда стремится к нулю, , а сам ряд расходится. n

Если и – два сходящихся ряда и l – действительное число, то сходятся и ряды

, ,

причем , а ; эти ряды называются, соответственно, суммой исходных рядов и произведением ряда на число l. n

Знакочередующимся называется ряд, члены которого попеременно положительны и отрицательны, т.е.

a₁ - a₂ + a₃ - a₄ +¼ +(-1)ⁿ⁺¹ a_n + ¼; a_n >0, n = 1, 2, ….

Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине, т.е. a _n+1 < a _n, и стремятся к 0, , то ряд сходится. n

Пример 3.3.

Простейшие примеры сходящихся знакочередующихся рядов:

,

Дата добавления: 2014-12-29